pathが右(左)連続でadaptedならprogressively measurable
一度証明を書いておこうかと思います．
主張
を実数に値を取る，右(左)連続で .png)
-adapted な過程とする．このとき過程Xは発展的可測である．
[証明]
右連続の場合のみ示す．左連続の場合も同様．%7D:%5COmega%5Ctimes%20[0,%5Cinfty)%5Crightarrow%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
を以下のように定義する．
%7D(%5Comega,t)%3DX(%5Comega,k/2%5En)%5C%20%7B%5Crm%20if%7D%5C%20t%5Cin%20[(k-1)/2%5En,k/2%5En)%5C%20%5C%20(k%3D1,2,%5Cdots).png)
%7D.png)
は 
に各点収束する．実際 は右連続であるから任意の 
と任意の .png)
に対して，ある 
があって
,%5C%200%3Cu-t%3C%5Cdelta%20%5CRightarrow%20%7CX_u(%5Comega)-X_t(%5Comega)%7C%3C%5Cvarepsilon.png)
nを十分大にとれば，
となるので，各点収束する． は発展的可測であるから，各点収束先である も発展的可測である．
伊藤の公式は連続セミマルチンゲールの確率積分に対しての主張なので，発展的可測かどうか確かめる必要があるのですが，上の主張から問題ありませんでした．class DLの記事のときにもこの主張を確認したのですが，まだ馴染んでない気がしています．pathの片側連続性があれば，可測性には弱い仮定(adaptedだけ)仮定するだけで，発展的可測がでてくるのがしっくりきていない気がしています．
