気になったので
Twitterで流れてきたので
一次元(多分Rのこと)閉集合で内点をもたないルベーグ測度が正である集合は存在するか?
Baireのカテゴリー定理を使うんじゃないか?というつぶやきを見たけど一回生のレポート課題みたいだからもっと初等的に示せるのかも.
内点を持たないという条件をどう使えばいいものか・・・
追記:数学科の優秀な方が解いたので回答メモ(つぶやき引用)
[0,1]の有理数を順序づける。n番目の有理数に対しそれを中点とし、長さ2^(-n-1)の開区間Inを対応させる。A=[0,1]\setminus ∪Inとおく。可算和だから閉集合。有理数の稠密性より内点を持たない。Aの測度はΣ2^(-n-1)<1であることより正。
なるほどー.この証明によれば任意のε>0に対して[0,1]の部分集合で問題の条件を満たし,その測度が1-εよりも大きくなるものが存在するのか.