突然終わるかもしれないブログ

確率や統計の内容について記事を書く予定です.

気になったので

Twitterで流れてきたので


一次元(多分Rのこと)閉集合で内点をもたないルベーグ測度が正である集合は存在するか?


Baireのカテゴリー定理を使うんじゃないか?というつぶやきを見たけど一回生のレポート課題みたいだからもっと初等的に示せるのかも.

内点を持たないという条件をどう使えばいいものか・・・


追記:数学科の優秀な方が解いたので回答メモ(つぶやき引用)

[0,1]の有理数を順序づける。n番目の有理数に対しそれを中点とし、長さ2^(-n-1)の開区間Inを対応させる。A=[0,1]\setminus ∪Inとおく。可算和だから閉集合有理数の稠密性より内点を持たない。Aの測度はΣ2^(-n-1)<1であることより正。

なるほどー.この証明によれば任意のε>0に対して[0,1]の部分集合で問題の条件を満たし,その測度が1-εよりも大きくなるものが存在するのか.