Riemann測度

というのがあるらしい．具体的にはRiemann多様体M上のコンパクトな台を持つ関数全体から，Rへの線形汎関数

を定義してRieszの表現定理から多様体上にRadon測度を構成できるらしい．

この測度空間 に置いて をMの体積と呼ぶらしい．特にコンパクトで向き付可能のときは体積要素の積分と一致してる(f=1)からその拡張なのか？

Sardの定理で多様体上の測度0集合は定義するのに多様体上に測度を入れないのはなんか気持ち悪いなと思って調べたら，このRiemann測度というのが出てきた．

しかも

 σコンパクトなRiemann多様体(M,g)の任意の座標近傍系をとる(局所有限でなくてよいし非加算でよい). このとき次は同値.

(i) かつ
(ii) 任意の に対して がルベーグ可測集合かつそのルベーグ測度は0

この(ii)の定義は多様体上の測度0集合の定義そのものだからσコンパクトなRiemann多様体に関してはこの測度空間で考えるとSardの定理とかの議論も少しは見やすくならないかな．位相多様体が第二可算公理を満たすこととσコンパクトであることは同値で，パラコンパクトならRiemann計量が存在するからSardの定理の仮定からRiemann測度入れられるし．

うーん幾何と解析を混ぜたような話をもっと勉強してみたいです．精進あるのみですかね・・・