多様体の境界
今履修している幾何学の授業の演習問題で｢境界付き多様体の境界の定義が局所座標によらないことを示せ」というのがあって，位相幾何の本見たら何やら難しいことが書いてあって萎えてたんだけどもっと簡単に示せることが調べたら分かった．
境界の定義は可微分多様体Mの座標近傍系を %5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin%20A%7D.png)
として Mの境界∂Mは
%5Cin%20%5Cpartial%20%5Cmathbf%7BH%7D%5En%5C%7D.png)
ただし %5Cin%5Cmathbf%7BR%7D%5En%5C%20%7C%5C%20x_n%5Cgeq%200%5C%7D.png)
，%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D%5En%5C%20%7C%5C%20x_n%3D%200%5C%7D.png)
とする．これが局所座標によらない，つまりxの座標近傍 ,%20%5C%20(U_%7B%5Cbeta%7D,%5Cvarphi_%7B%5Cbeta%7D).png)
に対して
%5Cin%20%5Cpartial%20%5Cmathbf%7BH%7D%5CLongrightarrow%20%5Cvarphi_%7B%5Cbeta%7D(x)%5Cin%20%5Cpartial%20%5Cmathbf%7BH%7D.png)
これを待遇を用いて
%5Cnot%5Cin%20%5Cpartial%20%5Cmathbf%7BH%7D%5En%20%5CLongrightarrow%20%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(x)%5Cnot%5Cin%20%5Cpartial%20%5Cmathbf%7BH%7D%5En.png)
を示せばよい．座標変換は全単射なので座標変換のヤコビ行列は正則．よって逆関数定理から座標変換は局所同型．.png)
の開近傍を十分小さくとれば，その座標変換による像は 
の開集合にうつる．よって%5Cnot%5Cin%20%5Cpartial%20%5Cmathbf%7BH%7D%5En.png)
．
そういえばMilnorの本が届いた．
