臨界点

写像度の話を読んでいたら臨界点の集合が閉集合であることの証明を思いついたのでメモ．

M,Nを可微分多様体としそれぞれ次元をm,nとする．可微分写像f:M→Nとする．Mの正則点全体の集合が開集合であることを示せばよい．

m < nなら任意のMの点は臨界点であるから正則点全体は空集合であるから開である．

m >= nのとき．Mの任意の正則点xに対してxを含むあるMの座標近傍 とf(x)を含む があって

ただしDfは

を(i,j)成分にもつn×m行列である．rankがnなので が正則であるとしてよい．この行列式はR^mからRへの連続関数であるから の十分小さい近傍で0でない．つまりこの近傍上で が成立している．これより正則点全体の集合をRとすれば，Rの任意の点は内点である．従ってRは開集合である．