突然終わるかもしれないブログ

確率や統計の内容について記事を書く予定です.

a.s.収束と位相

Durrettの本に

Since there is a sequence of random variables that converges in probability but not a.s. , it follows that a.s. convergence does not come from a metric, or even from a topology.

とあった.


確率論の授業でも紹介されてた主張で,どう示すのかなと思っていたのだけれど,Durrettでは

Let be a sequence of elements of a topological space. If every subsequence has a further subsequence that converges to y then .

という主張から導けると書いてあった.

これからもしa.s.収束がある位相で定まると仮定して矛盾が導ける.確率収束する列から任意に部分列(確率収束する)をとって,Borel-Cantelliの補題からその確率収束先に概収束する部分列を取れる.概収束が位相から定まるという仮定と上の主張から,もとの確率収束する列は概収束する.これは矛盾.

という感じになる.