Scheffe's Lemma
David Williamsの『Probability with martingales』という本(下のやつ)のChapter5にあるScheffeの補題(5.10)のところにあるExerciseの証明のメモです．
 | Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks) (1991/02/14) David Williams 商品詳細を見る |
ヒントにもあるとおり%5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B%5Cpm%7D).png)
が言えればよい．
まずFatouの補題より
また
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より
d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup_n%20%5Cint%20(f_n%5E+-f%5E+)d%5Cmu+%5Climinf%5Cint%20(f_n%5E-%20-f%5E-)d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%5C%7B(f_n%5E+-f%5E+)+(f_n%5E--f%5E-)%5C%7Dd%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%7Cf_n%7Cd%5Cmu%20-%5Cint%20%7Cf%7Cd%5Cmu%3D0.png)
よって %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B+%7D).png)
．同様に %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B-%7D).png)
．以上より主張が従う．
