fully T_4 ⇒ T_4

fully T_4 ⇒ T_4 の証明を思いついたのでメモ． (fully T_4 の定義は任意の開被覆に対して open star refinementが存在する．)

対遇をとって T_4 でない ⇒ fully T_4 でない ことを示す．

T_4でないとするとある互いに素な閉集合F_1,F_2があって，F_1,F_2を含む任意の開集合O_1⊃F_1, O_2⊃F_2に対して となる．開被覆 を考える．fully T_4であるとする．点xのopen star refinement を とする．このとき

であるから仮定よりあるF_1の点a_1とF_2の点a_2があって

の点aをとる．open star refinement の定義から より ，また より となるから となる．ところが は のいずれにも含まれないから矛盾．よってfully T_4ではない．