突然終わるかもしれないブログ

確率や統計の内容について記事を書く予定です.

X,Yは実確率変数とし,任意の実数aに対しP(X=a)=0,またXとYは独立で同分布に従うとする.このときP(X=Y)=0となる.

タイトルの主張は確率論のテストで必要だった主張です.テストの時は分かりませんでした.

ですが,零集合の非可算和は零集合とは限らないのでこれではうまくいかないです.

そこでFubiniの定理を使います.P^Xを像測度とするとき,XとYは独立であるから, であり,非負値可測関数に対してFubiniの定理がなりたつから

となる.

であるから

となる.


Sardの定理の証明を読んでいて,R^nの部分集合Aが,任意の超平面{p}×R^{n-1}と共通部分をとったとき,そのn-1次元ルベーグ測度が0ならば,Aのn次元ルベーグ測度が0 というのをFubiniの定理から示していて,それのおかげでやっと解決しました.

どうでもいいのですがミルナーの本は添字が見づらいです.