多様体上の調和関数

Mをコンパクト，連結，向きづけられた境界付き可微分多様体とする． であるとする．M上の調和関数u,vが境界上で一致するときuとvはM上で一致する．

という主張の証明のメモ．

u-vを考えれば良いから，調和関数fで境界上で0となるものが，M上で恒等的に0になることを示せばよい． をMの体積要素とする．Stokesの定理から

ただし境界にはMから定まる向きを入れ，Nは外向きの単位ベクトルとし， は境界の体積要素とする．fは調和で境界上で0となるから

よって より ．ゆえにfは定数関数(任意のベクトル場Xに対してXf=0より)．仮定より境界上で0で，Mは連結であったからf=0となる．

似たような主張で｢Mの境界が空であったら調和関数は定数に限る(Mは向き付可能でなくても良い)」というのが松島多様体にあった．そちらもgrad fが0となることを示すために という式をつかい，ストークスの定理から導いていた．細かいけど ではないだろうか．計算すると

よって

となるから

となる気がするのだけど・・・