2012-03-31 共変微分と平行移動 幾何 を多様体Mの線形接続， (IはRの開区間)とする． を接空間 からへの写像で， は を に沿って平行移動したものとする．このとき に沿う共変微分はと表されることを示せ．という問題です．本によっては(野水，甘利など)平行移動から，上の式で曲線に沿う共変微分を定義しているみたいです． [証明] と置くと， は線形同型写像であるから は の基底である． とすると (初期値)であるから一方よって証明が終わる．
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%3D%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t_0)%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j(t_0)%3DV%5Ej(t_0)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)).png)
-V(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D%26%3D%26%5Cbigg(%5Clim_%7Bt%5Cto%20t_0%7D%5Cfrac%7B%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t)-%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D%5Cbigg)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0))%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cdot%7B%5Ctilde%7BV%7D%7D%5Ej(t_0)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)).png)
%3D%5Cdot%7B%5Ctilde%7BV%7D%7D(%5Cgamma(t_0))%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0))%5C%20(D_t%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j%3D0).png)
