モーメント母関数の条件付き期待値

次の記事でKaratzasAndShreveのProblem3.2.28の証明をしたいと思いますが，そこで使う補題を示しておこうと思います．

主張
を確率空間とし， を の部分σ加法族とする． また をほとんど確実に有界な 可測関数とし， を平均 0 分散 t の正規分布に従う と独立な確率変数とする．このとき

が成立する．つまり で条件付けると を定数と見なした のモーメント母関数になっている．

[証明]
まず が単関数のときを示す．

とする．ただし， とする．また

とおく．任意の に対して

よって

となる．次に がほとんど確実に有界な一般の確率変数のときに示す．このとき単関数の列 で

となるものが存在する．ここで

とすると，Vは可測である．さらに

であり，

である．よって条件付き期待値の優収束定理より

を得る．[証明終]

もっと簡単に示せそうな気もするんですが，とりあえず上のように愚直に示しました．あと細かい議論は抜きで条件付き期待値と可算和を交換しようとすると

途中で

であることを使いました．これでも期待値と和の交換の正当性が言えればいいと思います．