exponential supermartingale
Problem3.2.28
をstandard Brownian motion とし 
をmeasurable，adaptedで
を満たす確率過程とする．つまり確率積分
は定義できるものとする．このとき
%5Cstackrel%7B%7B%5Crm%20def%7D%7D%7B%3D%7D%5Cint_0%5Et%20X_sdW_s-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_0%5EtX_s%5E2ds.png)
と定義する． ),%5Cmathcal%7BF%7D_t;0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty%5C%7D.png)
は優マルチンゲールであることを示せ．また が単過程のときマルチンゲールであることを示せ．
[証明]
まず が単過程のときマルチンゲールであることを示す． が単過程のとき 
に対して
-%5Czeta_s(X))%7C%5Cmathcal%7BF%7D_s]%3D1%5Cquad%20%7B%5Crm%20a.s.%7D.png)
が成り立つことをまず示す． が単過程なので
-%5Czeta_s(X))%3D%5Cexp%5Cbigg%5C%7B%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%5Cbigg%5C%7B%5Cxi_%7Bt_j%7D(W_%7Bt_%7Bj+1%7D%7D-W_%7Bt_j%7D)-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cxi_%7Bt_j%7D%5E2(t_%7Bj+1%7D-t_j)%20%5Cbigg%5C%7D%5Cbigg%5C%7D.png)
と表せる．ただし 
とした．また単過程の定義よりある定数Mが存在して
であり， 
は 
可測である．前の記事の補題より
)%7C%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bt_j%7D]%3D%5Cexp%5Cbigg(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cxi_%7Bt_j%7D%5E2(t_%7Bj+1%7D-t_j)%5Cbigg).png)
これと条件付き期待値のtower propertyから
が成立する．よって
)%7C%5Cmathcal%7BF%7D_s]%26%3D%26%5Cexp(%5Czeta_s(X))E[%5Cexp(%5Czeta_t(X)-%5Czeta_s(X))%7C%5Cmathcal%7BF%7D_s]%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cexp(%5Czeta_s(X))%5Cquad%20%7B%5Crm%20a.s.%7D.png)
これより が単過程のときマルチンゲールである． が単過程でないときは伊藤の公式より
)%3D1+%5Cint_0%5Et%5Cexp(%5Czeta_s(X))X_sds.png)
よって は非負値局所連続マルチンゲールである．一般に非負値局所連続マルチンゲールは優マルチンゲールであるから(KaratzasAndShreve, Problem1.5.19)，証明が終わる．[証明終]
Xが単過程でないときは，Xを単過程でうまく近似して(KaratzasAndShreve, Problem3.2.27)Fatouの補題を使うことでも示せますが，準備が大変なので伊藤の公式をつかった証明で済ませました．また省略しましたが条件付き期待値のところで可測なものを外に出していますが，可積分性をチェックしなければいけません．それは の有界性から従います．
[追記] の有界性から議論するのではなく先に優マルチンゲールであることを言って
)]%5Cleq%201.png)
-%5Czeta_s(X))]%5Cleq%20%5Csqrt%7BE[%5Cexp(2%5Czeta_t(X))]%7D%5Csqrt%7BE[%5Cexp(2%5Czeta_s(X))]%7D%5Cleq%201.png)
を言うのが早い気がしました．
