Exercise(3.12),Chapter2(Revuz, Yor)
Exercise(3.12),Chapter2(Revuz, Yor)
Mを正の値を取る連続マルチンゲールとし，
とする．また 
とおく．
(1) 
に対して .png)
となることを示せ．
(2) より一般に 
が 正の値を取る 
可測な確率変数であるとき .png)
であることを示せ．
(3) B を .png)
を出発する1次元のブラウン運動であるとする． 
とするとき，
の分布を求めよ．
(4) B を標準ブラウン運動であるとする． )%5Cquad%20(%5Cmu%20%3E0).png)
を用いて .png)
がパラメータ 
の指数分布に従うことを示せ．
[証明]
(1) 
とすると，これはstopping timeでありMはマルチンゲールであるから，
もマルチンゲールである．よって 
となる．ここで
%7C%3C%20x%20%5Cquad%20%5Cforall%7Bt%7D.png)
， であるから条件付き期待値のルベーグの収束定理より
となる．一方
となり，
.png)
となる．2つ目の等式は 
であることと条件付き期待値のルベーグの収束定理から従う．以上より
よって
1_%7B%5C%7BS%3D0%5C%7D%7D+xP(M%5E*%5Cgeq%20x%7C%5Cmathcal%7BF%7D_0)%3DM_0.png)
となる．ここで場合分けをする．まず %5Cgeq%20x.png)
のときは %3D0.png)
より
+xP(M%5E*%5Cgeq%20x%7C%5Cmathcal%7BF%7D_0)%3DM_0.png)
よって %3D1.png)
．それ以外のときは
%3DM_0.png)
より %3DM_0/x.png)
となる．以上あわせて
%3D1%5Cwedge%20(M_0/x).png)
[(1)の証明終][次の記事に続きます]
