Exercise(3.12),Chapter2(Revuz, Yor)続き
[続き]
(2) %5C%7D%7D.png)
として 
とおいて(1)から
%3D1%5Cwedge%20%5Ctilde%7BM%7D_0.png)
つまり
%5C%7D%7D%7C%5Cmathcal%7BF%7D_0)%3D1%5Cwedge%20M_0/(X1_%7B%5C%7BX%5Cin(1/n,n)%5C%7D%7D).png)
となる．
として結論を得る．
(3) 
とすれば，%3D1.png)
より 
となる．(1)の結果から
%3D1%5Cwedge%20a/x.png)
つまり
%3D1%5Cwedge%20a/x.png)
となる．
(4) )%5Cquad%20(%5Cmu%20%3E0).png)
がマルチンゲールであることはすぐにわかる． であることを示す．非負のマルチンゲールであるから， 
が存在する．Fatouの補題から
となり 
である．よって(1)より %5Cgeq%20x)%3DP(M%5E*%5Cgeq%20%5Cexp(2%5Cmu%20x))%3D%5Cexp(-2%5Cmu%20x).png)
となり，結論を得る．[証明終]
Revuz and YorのContinuous Martingales and Brownian Motionという本の問題でした．この問題を使って3次元以上のベッセル過程で0が非再帰的であることが示せるそうなので考えています．今後もこの本の問題を解くかわかりませんが，この本の問題のカテゴリはRevuzAndYorにしておきます．
