局所コンパクトハウスドルフ空間上では,ある連続関数の列でG-δコンパクト集合の定義関数に各点収束するものが存在する.
主張
局所コンパクトハウスドルフ(以下LCHとする)X上では,ある連続関数の列でG-δコンパクト集合Kの定義関数に各点収束するものが存在する.
[証明]
次の事実を用いる.
事実
LCHのコンパクト集合Kと開集合OでK⊂Oならば,コンパクト台をもつ実数値連続関数で 0≦u(x)≦1,u(x)=1 (x∈K),supp(u)⊂O となるものが存在する. (猪狩「実解析入門」6章などを参照)
とする.上の事実から各nに対してコンパクト台をもつ連続関数の列 で
となるものが存在する.このとき
となる.実際任意のnで とすると, となり矛盾.このnにたいして,
さらにXが第二可算公理を満たすとコンパクトG_δ集合を含む最小のσ加法族はボレル集合族に一致します.