Exercise5.2.27
Exercise5.2.27
次の1次元確率微分方程式の解を陽に求めよ.
ただし,Wは1次元ブラウン運動とする.
[解]
とすると,この確率微分方程式は
の解となる.σ(x)は2階連続微分可能で1階微分,2階微分ともにR上で有界である.b(x)も同様であるから,特にLipschitz連続である.従ってKaratzasShreve Proposition5.2.21より,次の常微分方程式を解くことで上の確率微分方程式の解を得ることができる.
ただし,
これを解いて
以上より解は
となる.[終]
ある種の確率微分方程式が常微分方程式を解くことで解を得ることができるという話題でした.上の場合f(x,y)がxによらないので楽でした.これがxによると常微分方程式を陽に解くことができないので,解析解は出ないように思います.