正則+第2可算公理⇒正規
主張
正則(ハウスドルフ性を入れなくても良い)でかつ第2可算公理を満たす空間は,正規である.
[証明]
内田先生の集合と位相の本の演習問題(p107)になっていて,そこにある方針で示します.以下A,Bを互いに交わらない閉集合とする.
(1)開集合系{U_n}, {V_n}で
となり,さらに, となるものが存在する.実際第2可算公理を満たすから可算開基を とすると,正則であることからAの任意の点xに対して, の元 U_x と 開集合 O_x で
となる.同様にすればV_nも取れる.
(2) (1)の{U_n}, {V_n}に対して
とする.明らかにU,Vは開集合である.また より である.そして
である.実際(1)より任意のx∈Aに対してあるNがあってx∈U_N. より, . よって x∈U'_n⊂U となる.B,Vの方も同様.[証明終]
この主張から正則,第2可算公理,ハウスドルフを満たす空間は距離付け可能であることがわかります.