突然終わるかもしれないブログ

確率や統計の内容について記事を書く予定です.

LCH,second countableな空間の点を分離する非負値C_0関数列

主張
Eを局所コンパクトハウスドルフ(以下LCHと略す)かつ第2可算公理を満たす空間とし, をE上の非負値連続関数で無限遠点で消える関数全体とする.このとき関数列 で任意の相異なるEの2点x,yに対してあるf_nがあってf_n(x)≠f_n(y)となるものが存在する.

補題
Eが主張の条件を満たすとき,Eの任意の開集合Oはσコンパクトである.

[補題の証明]
次の事実を用いる.

事実
XがLCHであり,K⊂U⊂XでKはコンパクト,Uは開集合であるとき,相対コンパクトな開集合Vが存在して となる.(Folland, 猪狩参照)

これから任意のx∈Oに対してある開近傍V_xが存在して となる. をEの可算開基とすると, となるものが存在する.従って となる.以上より は可算であるから,Oはσコンパクトである.[補題証明終]

[主張の証明]
をEの可算開基とし, とする.各O_nは上の補題からσコンパクトであるから

となる.一の分割から,ある関数

となるものが存在する. が主張にある関数列の条件を満たすことはEがハウスドルフで,開基の元で2点を分離できることから明らか.[証明終]

Yorの本だと証明のなかでこれを使うのですが,主張だけ書いてあって証明はなかったので自分で付けてみました.少し回りくどい気もします.