Problem3.5.7
Problem3.5.7
を一次元のブラウン運動とする．ただしフィルとレーションはWを可測にする最小のσ加法族とする．Tを.png)
-stopping time でかつ，%3D1.png)
を満たすものとする．このときWaldの恒等式
]%3D1.png)
が成立することと，
%7D(T%3C%5Cinfty)%3D1.png)
が成立することは同地である．ここで確率測度 %7D.png)
は %5Cquad%20(%5Cmu%5Cneq%200).png)
として
%7D(A)%3DE[1_AZ_t];%5Cquad%20A%5Cin%20%5Cmathcal%7BF%7D_t%5EW.png)
として定義したものを 
に一意的に拡張した測度である(Karatzas and Shreve, Corollary 3.5.2参照)．
このことから特に 
なるものに対して
は上の条件を満たす．(Novikov conditionの証明に用いられる(Proposition 3.5.12))
[証明]
Optional Sampling Theoremから
%7D[T%5Cleq%20t]%5Cquad%20(0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty)%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_t]%20%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DE[Z_t%7C%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bt%5Cwedge%20T%7D]]%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_%7Bt%5Cwedge%20T%7D]%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_T].png)
よって単調収束定理から
%7D(T%3C%5Cinfty)%3DE[Z_T]%3DE[%5Cexp%20(%5Cmu%20W_T-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmu%20%5E2%20T)].png)
特に， なら 
なので %5Cleq%20P(S_b%3C%5Cinfty)%3D1.png)
で のもとで，
はブラウン運動になる(Girsanovの定理)ので
%7D(S_b%3C%5Cinfty)%3DP%5E%7B(%5Cmu)%7D(%5Cinf%5C%7Bt%5Cgeq%200:%5Ctilde%7BW%7D_t%3Db%5C%7D)%3D1.png)
[証明終]
