突然終わるかもしれないブログ

確率や統計の内容について記事を書く予定です.

Problem5.3.13

Problem5.3.13
はd×d行列で,任意の(t,x)に対して正則であるとする.また は一様に有界であり, の最小固有値は(t,x)によらずに下から正の値で抑えられているとする.さらに

は初期分布 の弱解を持つとする.このとき確率微分方程式

は初期分布 の弱解を持つことを示せ.

[証明]
まず が(t,x)によらずに一様に上から抑えられることを示す. 固有ベクトルを正規直交基底として選び とし ,対応する固有値 とする.ただしλは(t,x)によらない正の定数である.このとき,

となるから

.

これより

の初期分布 の弱解を とすれば

これよりNovikovの条件からGirsanovの定理を用いて

の下でブラウン運動となる.よって

・・・(※)

となり,

は初期分布 の弱解となる.[証明終]

(※)の等号は -a.s.で成立します.考えている確率空間が違いますが成立します(Karatzas and Shreve Problem3.5.6)