Hilbert--Schmidt作用素はコンパクト作用素
主張
を可分なヒルベルト空間とし, を から へのHilbert-Schmidt作用素とする.このとき はコンパクト作用素である.
証明
事実1
をコンパクト作用素とし,
であるならば, はコンパクトである(コンパクト作用素の全体はバナッハ空間なので).
事実2
有界線形作用素の値域が有限次元空間であればコンパクトである(有限次元と局所コンパクトは同値).
この二つの事実を用います.
を の内積とし, を完全正規直交系とする.有界線形作用素 を
と定義する.事実2より はコンパクト. が に強収束することを示せば,事実1より はコンパクトとなり,主張が示されたことになる.
となる. はHilbert-Schmidt作用素であるから,
Hui-Hsiung Kuoの Gaussian Measures in Banach Spacesという本を読み始めました.上の主張はこの本のExerciseになっています.抽象ウィナー空間が分かるようになりたいです.
Gaussian Measures in Banach Spaces Hui-Hsiung Kuo 2006-06-29 売り上げランキング : 1234523 Amazonで詳しく見る by G-Tools |