Contiguity
統計にでてくるContiguityの概念についての問題(van der Vaart: Asymptotic Statistics. Chap 6.)を解いたので,そのまとめです.
問題
(1) を標準正規分布, を平均 分散1の正規分布とする.このとき と が互いにcontiguousであることと,は同値であることを示せ.
(2) total variation を
とすると
(3) 任意の に対して, と は互いにcontiguousであるが, となる例を見つけよ.
(4) は に対してcontiguousであるが, は に対してcontiguousでない例を挙げよ.
(5) 二つの確率測度, が互いに絶対連続であることと,確率測度の列, が互いにcontiguousであることは同値である.
証明
(1) 互いにcontiguousなら, が有界であることを対偶を使って示す.
とする.このとき の部分列で または となるものが存在する.この部分列を とし,
とすると,
より互いにcontiguousでない.よって互いにcontiguousなら, が有界である.
逆を示す. が有界であるとする.とする. が有界であるから,任意の に対して,あるがあって,
となる(tight).このとき
となるから,
よって は に対してcontiguous.同様に は に対してcontiguousであることが分かる.よって同値性が示された.
(2) とする.total variationが0に収束するという仮定より,任意の に対して,あるがあって,
よっては に対してcontiguousであることが示された.条件の対称性から同様にして,互いにcontiguousであることが分かる.
(3) を に台を持つディラック測度とする.
とすれば互いにcontiguousであるが,total variation は集合{0}のときにとなる.
(4)
とすれば条件を満たす.
(5) 二つの確率測度, が互いに絶対連続であるとする.このときラドン--ニコディム微分
はそれぞれの確率測度の下で可積分である.
であるから,
よって は に対してcontiguousである.全く同様にしては に対してcontiguousである.
次に確率測度の列, が互いにcontiguousであるとする.とする.とすれば,contiguityより.よってQはPに関して絶対連続.同様にPはQに関して絶対連続.[証明終]