突然終わるかもしれないブログ

確率や統計の内容について記事を書く予定です.

Contiguity

統計にでてくるContiguityの概念についての問題(van der Vaart: Asymptotic Statistics. Chap 6.)を解いたので,そのまとめです.

問題

(1) を標準正規分布 を平均 分散1の正規分布とする.このとき が互いにcontiguousであることと,は同値であることを示せ.

(2) total variation を

とすると 

 

ならば は互いにcontiguousである.

(3) 任意の に対して, は互いにcontiguousであるが, となる例を見つけよ.

(4) に対してcontiguousであるが, に対してcontiguousでない例を挙げよ.

(5) 二つの確率測度, が互いに絶対連続であることと,確率測度の列, が互いにcontiguousであることは同値である.


証明

(1) 互いにcontiguousなら, が有界であることを対偶を使って示す.

とする.このとき の部分列で または となるものが存在する.この部分列を とし,

とすると,

より互いにcontiguousでない.よって互いにcontiguousなら, が有界である.

逆を示す. が有界であるとする.とする. が有界であるから,任意の に対して,あるがあって,

となる(tight).このとき

となるから,

となる.は任意であったから

.

よって に対してcontiguous.同様に に対してcontiguousであることが分かる.よって同値性が示された.


(2) とする.total variationが0に収束するという仮定より,任意の に対して,あるがあって,

となる.よって に対して,

よって に対してcontiguousであることが示された.条件の対称性から同様にして,互いにcontiguousであることが分かる.


(3) に台を持つディラック測度とする.

とすれば互いにcontiguousであるが,total variation は集合{0}のときにとなる.


(4)

とすれば条件を満たす.


(5) 二つの確率測度, が互いに絶対連続であるとする.このときラドン--ニコディム微分

はそれぞれの確率測度の下で可積分である.

であるから,

よって に対してcontiguousである.全く同様にして に対してcontiguousである.

次に確率測度の列, が互いにcontiguousであるとする.とする.とすれば,contiguityより.よってQはPに関して絶対連続.同様にPはQに関して絶対連続.[証明終]