.png)
%3De%5E%7B-b%5Csqrt%7B2%5Calpha%7D%7D;%5Cquad%20b%3E0,%5Calpha%3E0.png)
.png)
)%3D0%5Cquad%20%7B%5Crm%20a.s.%7D.png)
%3D1,%5Cquad%20%5Clim_%7Bt%5Cto%5Cinfty%7DX_t%3D0%5Cquad%20%7B%5Crm%20a.s.%7D,%5Cquad%20%20%7C1_%7B%5C%7Bt%3CT_b%5C%7D%7DX_t%7C%5Cleq%20e%5E%7B%5Clambda%20b%7D.png)
]%3D1.png)
Problem3.5.7
Problem3.5.7
を一次元のブラウン運動とする．ただしフィルとレーションはWを可測にする最小のσ加法族とする．Tを.png)
-stopping time でかつ，%3D1.png)
を満たすものとする．このときWaldの恒等式
]%3D1.png)
が成立することと，
%7D(T%3C%5Cinfty)%3D1.png)
が成立することは同地である．ここで確率測度 %7D.png)
は %5Cquad%20(%5Cmu%5Cneq%200).png)
として
%7D(A)%3DE[1_AZ_t];%5Cquad%20A%5Cin%20%5Cmathcal%7BF%7D_t%5EW.png)
として定義したものを 
に一意的に拡張した測度である(Karatzas and Shreve, Corollary 3.5.2参照)．
このことから特に 
なるものに対して
は上の条件を満たす．(Novikov conditionの証明に用いられる(Proposition 3.5.12))
[証明]
Optional Sampling Theoremから
%7D[T%5Cleq%20t]%5Cquad%20(0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty)%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_t]%20%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DE[Z_t%7C%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bt%5Cwedge%20T%7D]]%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_%7Bt%5Cwedge%20T%7D]%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_T].png)
よって単調収束定理から
%7D(T%3C%5Cinfty)%3DE[Z_T]%3DE[%5Cexp%20(%5Cmu%20W_T-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmu%20%5E2%20T)].png)
特に， なら 
なので %5Cleq%20P(S_b%3C%5Cinfty)%3D1.png)
で のもとで，
はブラウン運動になる(Girsanovの定理)ので
%7D(S_b%3C%5Cinfty)%3DP%5E%7B(%5Cmu)%7D(%5Cinf%5C%7Bt%5Cgeq%200:%5Ctilde%7BW%7D_t%3Db%5C%7D)%3D1.png)
[証明終]
Exercise3.5.10
Exercise3.5.10
Wをブラウン運動，
, を前の記事と同じ確率測度とする．%7D.png)
を での期待値とすれば
%7De%5E%7B-%5Calpha%20T_b%7D%3D%5Cexp%20(%5Cmu%20b-%7Cb%7C%5Csqrt%7B%5Cmu%5E2%20+2%5Calpha%7D).png)
が成立する．
[証明]
%7D[%5Ctilde%7BX%7D_t]%5Cquad%20(0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty)%5C%5C%0A%26%3D%26E%5E%7B(%5Cmu)%7D[E%5E%7B(%5Cmu)%7D[%5Ctilde%7BX%7D_t%7C%5Cmathcal%7BF%7D%5EW_%7Bt%5Cwedge%20T_b%7D]]%5C%5C%0A%26%3D%26E%5E%7B(%5Cmu)%7D[1_%7B%5C%7BT_b%3Et%5C%7D%7D%5Ctilde%7BX%7D_t]+E%5E%7B(%5Cmu)%7D[1_%7B%5C%7BT_b%5Cleq%20t%5C%7D%7D%5Ctilde%7BX%7D_%7BT_b%7D].png)
あとは Exercise2.8.4 と同じように考えれば
1_%7B%5C%7BT_b%3C%5Cinfty%5C%7D%7D]%3D1.png)
λについての二次方程式 
の解は 
であり，
に注意してbの正負で場合分けしてλを選べば結論を得る．[証明終]
