Problem3.5.7
Problem3.5.7
を一次元のブラウン運動とする.ただしフィルとレーションはWを可測にする最小のσ加法族とする.Tを -stopping time でかつ, を満たすものとする.このときWaldの恒等式
が成立することと,
として定義したものを に一意的に拡張した測度である(Karatzas and Shreve, Corollary 3.5.2参照).
は上の条件を満たす.(Novikov conditionの証明に用いられる(Proposition 3.5.12))
[証明]
Optional Sampling Theoremから
よって単調収束定理から
特に, なら なので で のもとで, はブラウン運動になる(Girsanovの定理)ので
[証明終]
Exercise3.5.10
Exercise3.5.10
Wをブラウン運動,, を前の記事と同じ確率測度とする. を での期待値とすれば
が成立する.
[証明]
あとは Exercise2.8.4 と同じように考えれば
λについての二次方程式 の解は であり, に注意してbの正負で場合分けしてλを選べば結論を得る.[証明終]