Exercise3.5.11 ν>0, c>1 に対して次のような -stopping time を定義する．このとき[証明]よって . またより ・・・(1)あとは であることを示せば十分である．なぜならばこれが成立すればWaldの恒等式からとなり，(1)の両辺の期待値をとって整理すればを得る…

Exercise3.5.10 Wをブラウン運動，, を前の記事と同じ確率測度とする． を での期待値とすればが成立する．[証明]あとは Exercise2.8.4 と同じように考えればλについての二次方程式 の解は であり， に注意してbの正負で場合分けしてλを選べば結論を得る．[…

Problem3.5.7 を一次元のブラウン運動とする．ただしフィルとレーションはWを可測にする最小のσ加法族とする．Tを -stopping time でかつ， を満たすものとする．このときWaldの恒等式が成立することと，が成立することは同地である．ここで確率測度 は とし…

Exercise2.8.4 とするとき，となることを，マルチンゲール とOptional Sampling Theoremを用いて示せ． [証明] まず大数の強法則からさらにOSTからここで よりルベーグの収束定理からまた単調収束定理から以上よりとなり結論を得る．[証明終] T_bの分布がわ…

ChapterIII Exercise(1.11) (Revuz-Yor) Xが時間に関して一様でないE値マルコフ過程とするとき，(t,X_t)は時間に関して一様なR_+×E値マルコフ過程となる(これを"time-space" processと呼ぶ)ことを示せ． またこのとき，推移関数(transition function)を書き…

主張 Eを局所コンパクトハウスドルフ(以下LCHと略す)かつ第2可算公理を満たす空間とし， をE上の非負値連続関数で無限遠点で消える関数全体とする．このとき関数列 で任意の相異なるEの2点x,yに対してあるf_nがあってf_n(x)≠f_n(y)となるものが存在する．補…

主張 正則(ハウスドルフ性を入れなくても良い)でかつ第2可算公理を満たす空間は，正規である．[証明] 内田先生の集合と位相の本の演習問題(p107)になっていて，そこにある方針で示します．以下A,Bを互いに交わらない閉集合とする． (1)開集合系{U_n}, {V_n}…

Exercise5.2.27 次の1次元確率微分方程式の解を陽に求めよ．ただし，Wは１次元ブラウン運動とする．[解] とすると，この確率微分方程式はの解となる．σ(x)は2階連続微分可能で1階微分，2階微分ともにR上で有界である．b(x)も同様であるから，特にLipschitz連…