Problem3.3.23 をd(≧3)次元のr(>0)を出発するベッセル過程とする． とするとき，となることを示せ．つまりYはベータ分布に従う．[証明] 伊藤の公式より， は局所連続マルチンゲールである．従ってあるstopping timeの列 で がマルチンゲールとなり， となる…

Problem3.3.24 をr(≧0)を出発するd(≧3)次元ベッセル過程とする．このときが成立することを示せ．証明 伊藤の公式から は非負値局所連続マルチンゲールである．よって連続な優マルチンゲールであるから が存在する．重複対数の法則より ．よって となる．これ…

Exercise(3.12),Chapter2(Revuz, Yor)[続き] (2) として とおいて(1)から つまりとなる． として結論を得る．(3) とすれば， より となる．(1)の結果からつまりとなる．(4) がマルチンゲールであることはすぐにわかる． であることを示す．非負のマルチンゲ…

Exercise(3.12),Chapter2(Revuz, Yor) Mを正の値を取る連続マルチンゲールとし， とする．また とおく． (1) に対して となることを示せ．(2) より一般に が 正の値を取る 可測な確率変数であるとき であることを示せ．(3) B を を出発する1次元のブラウン運…

一様可積分かつ局所連続マルチンゲールであるがマルチンゲールでない例(M.Yor)上の記事で一様可積分かつ局所連続マルチンゲールであるがマルチンゲールでない例を調べたのですが，からしゅれでは次のExerciseでまたこれと同じ種類の例を挙げているので，証明…

Problem3.2.28 をstandard Brownian motion とし をmeasurable，adaptedでを満たす確率過程とする．つまり確率積分は定義できるものとする．このときと定義する． は優マルチンゲールであることを示せ．また が単過程のときマルチンゲールであることを示せ．…

次の記事でKaratzasAndShreveのProblem3.2.28の証明をしたいと思いますが，そこで使う補題を示しておこうと思います．主張 を確率空間とし， を の部分σ加法族とする． また をほとんど確実に有界な 可測関数とし， を平均 0 分散 t の正規分布に従う と独立…

Exercise3.3.36 を0を出発するd(≧3)次元ベッセル過程とする． は(i) 局所マルチンゲールであり， (ii) に対して (従って一様可積分)を満たし， (iii) マルチンゲールでないことを示せ．[証明] (i)Rが有界な範囲で止めて伊藤の公式を用いると有界変動の項が消…