可分距離空間上のtightでない確率測度の例
完備可分距離空間上では確率測度の族 
がtightであることと，相対コンパクトであることは同値．けれども可分距離空間上の確率測度でtightでないものが存在する(よって相対コンパクトであるがtightでない例になっている)．
この例はBillingsleyの Convergence of Probability Measures の章末問題として載っていた例です．
 | Convergence of Probability Measures (Wiley Series in Probability and Statistics) (1999/07/30) Patrick Billingsley 商品詳細を見る |
まず [0,1] の部分集合 S をルベーグ外測度が1，ルベーグ内測度が0であるようなルベーグ非可測集合とする(存在は認める)．この集合 S に [0,1] の相対位相を入れると，可分距離空間となる([0,1]の開基の元とSの共通部分から(あれば)一点とって集めた集合Aは可算集合でSで稠密)．またルベーグ外測度 
を S に制限したものを 
とおく．Pは外測度の性質を満たし，カラテオドリの意味で可測な集合全体 
の上の測度となる．また明らかに，任意のルベーグ可測集合 E に対して 
は P可測集合である．さらにSのルベーグ外測度は1なので，PはSの上の確率測度となる．
ここで S の任意のコンパクト集合 K に対して P(K)=0 であることを示す(これよりPはtightでない S の上の確率測度となる)．包含写像 
は連続．よって i(K) は [0,1] のコンパクト集合．よって K は [0,1] のコンパクト集合．ここで 内測度の定義から
%3D%5Csup%20%5C%7B%20m%5E*(A)%20:%20A%20%7B%5Crm%5C%20is%5C%20a%5C%20compact%5C%20set%5C%20in%5C%20[0,1]%7D,%20A%5Csubset%20S%20%5C%7D.png)
よって %3D0.png)
から %3Dm%5E*(K)%3D0.png)
．以上より P は tight ではない．
Billingsleyはさらに可分距離空間上の確率測度の族で，相対コンパクトかつ各確率測度はtightだが，族はtightでないものも構成していて，証明できたらまたブログに書こうと思います．
しかし自分でもいろいろ考えてみたけど，ルベーグ非可測集合とは・・・
多様体上の調和関数
Mをコンパクト，連結，向きづけられた境界付き可微分多様体とする．
であるとする．M上の調和関数u,vが境界上で一致するときuとvはM上で一致する．
という主張の証明のメモ．
u-vを考えれば良いから，調和関数fで境界上で0となるものが，M上で恒等的に0になることを示せばよい．
をMの体積要素とする．Stokesの定理から
ただし境界にはMから定まる向きを入れ，Nは外向きの単位ベクトルとし，
は境界の体積要素とする．fは調和で境界上で0となるから
よって 
より 
．ゆえにfは定数関数(任意のベクトル場Xに対してXf=0より)．仮定より境界上で0で，Mは連結であったからf=0となる．
似たような主張で｢Mの境界が空であったら調和関数は定数に限る(Mは向き付可能でなくても良い)」というのが松島多様体にあった．そちらもgrad fが0となることを示すために 
という式をつかい，ストークスの定理から導いていた．細かいけど 
ではないだろうか．計算すると
.png)
よって
となるから
%3D2f%5CDelta%20f+2%7C%7C%7B%5Crm%20grad%7Df%7C%7C%5E2.png)
となる気がするのだけど・・・
X,Yは実確率変数とし，任意の実数aに対しP(X=a)=0，またXとYは独立で同分布に従うとする．このときP(X=Y)=0となる．
タイトルの主張は確率論のテストで必要だった主張です．テストの時は分かりませんでした．
%3DP(%5Cbigcup_%7Ba%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%7D%20%5C%7B%20X%3DY%3Da%20%5C%7D%20).png)
ですが，零集合の非可算和は零集合とは限らないのでこれではうまくいかないです．
そこでFubiniの定理を使います．P^Xを像測度とするとき，XとYは独立であるから， %7D%3DP%5EX%5Cotimes%20P%5EY.png)
であり，非負値可測関数に対してFubiniの定理がなりたつから
%26%3D%26%5Cint_%7B%5COmega%7D1_%7B%5C%7BX%3DY%5C%7D%7D(%5Comega)dP(%5Comega)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5Cbigg(%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D1_%7B%5C%7Bx%3Dy%5C%7D%7D(x,y)dP%5EX(x)%5Cbigg)dP%5EY(y).png)
となる．
dP%5EX(x)%3DP(X%3Dy)%3D0.png)
であるから
%3D%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5C%200%5C%20dP%5EY(y)%3D0.png)
となる．
Sardの定理の証明を読んでいて，R^nの部分集合Aが，任意の超平面{p}×R^{n-1}と共通部分をとったとき，そのn-1次元ルベーグ測度が0ならば，Aのn次元ルベーグ測度が0 というのをFubiniの定理から示していて，それのおかげでやっと解決しました．
どうでもいいのですがミルナーの本は添字が見づらいです．
fully T_4 ⇒ T_4
fully T_4 ⇒ T_4 の証明を思いついたのでメモ． (fully T_4 の定義は任意の開被覆に対して open star refinementが存在する．)
対遇をとって T_4 でない ⇒ fully T_4 でない ことを示す．
T_4でないとするとある互いに素な閉集合F_1,F_2があって，F_1,F_2を含む任意の開集合O_1⊃F_1, O_2⊃F_2に対して
となる．開被覆 
を考える．fully T_4であるとする．点xのopen star refinement を 
とする．このとき
であるから仮定よりあるF_1の点a_1とF_2の点a_2があって
の点aをとる．open star refinement の定義から
より 
，また
より 
となるから 
となる．ところが 
は 
のいずれにも含まれないから矛盾．よってfully T_4ではない．
からしゅれProblem4.2
からしゅれのProblem4.2で
%3D%5Cbigg%5C%7B%20%5Comega:%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%5Csup_%7B0%5Cleq%20t%5Cleq%20n%20,%20t%5Cin%20%5Cmathbf%7BQ%7D%7D(%7C%5Comega(t)-%5Comega_0(t)%7C%5Cwedge%201)%3C%5Cvarepsilon%5Cbigg%5C%7D.png)
が本当に
-可測なのか？というのが今日のゼミで話合いになった．ゼミで解決した方法よりも簡単な方法を発見したっぽいので書いておきます．
%5Cni%20%5Comega%20%5Cmapsto%20%5Comega(t)%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%20.png)
を時刻tでの射影とする． の定義より 
は 可測関数．よって極限関数である
%5Cni%20%5Comega%20%5Cmapsto%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%5Csup_%7B0%5Cleq%20t%5Cleq%20n,%20t%5Cin%5Cmathbf%7BQ%7D%7D(%7C%5Comega(t)-%5Comega_0(t)%7C%5Cwedge%201)%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
も -可測関数である．よって %3D%5C%7B%5Cvarphi(%5Comega)%3C%5Cvarepsilon%5C%7D.png)
より .png)
は -可測集合である．
Scheffe's Lemma
David Williamsの『Probability with martingales』という本(下のやつ)のChapter5にあるScheffeの補題(5.10)のところにあるExerciseの証明のメモです．
 | Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks) (1991/02/14) David Williams 商品詳細を見る |
ヒントにもあるとおり%5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B%5Cpm%7D).png)
が言えればよい．
まずFatouの補題より
また
.png)
より
d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup_n%20%5Cint%20(f_n%5E+-f%5E+)d%5Cmu+%5Climinf%5Cint%20(f_n%5E-%20-f%5E-)d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%5C%7B(f_n%5E+-f%5E+)+(f_n%5E--f%5E-)%5C%7Dd%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%7Cf_n%7Cd%5Cmu%20-%5Cint%20%7Cf%7Cd%5Cmu%3D0.png)
よって %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B+%7D).png)
．同様に %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B-%7D).png)
．以上より主張が従う．
Skorokhod representation
Fは分布関数の条件を満たすとき，Fはある確率変数の分布関数になっているという定理の証明ででてくる
%3D%5Csup%5C%7By%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D:F(y)%5Cleq%5Comega%5C%7D.png)
という確率変数が左連続なのか？というのを友だちと一緒に考えた．
まず
%5Cleq%20a%5CLongleftrightarrow%20x%5Cleq%20Y(a).png)
は定義から明らか．これの対偶をとって
%3E%20a%5CLongleftrightarrow%20x%3E%20Y(a).png)
これより .png)
をとる． %3CY(%5Comega).png)
と仮定すると
)%5Cgeq%20F(Y(%5Comega_n))%5Cgeq%20%5Comega_n%20.png)
が任意のnについて成り立つ．よって )%3C%20%5Comega.png)
となり矛盾．
