可測写像が与えられたもとでの条件付き期待値
Definition
.png)
を確率空間，.png)
を可測空間とする．
を可測写像，
を実確率変数とし可積分とする．このとき
%3D%5Cint_%7BY%5E%7B-1%7D(A)%7DXdP.png)
とすると，
は上の符号付き測度となる．また .png)
(像測度) とすると， は
に関して絶対連続となる．
よってRadon-Nykodim 導関数が存在し，それを
と表す．これをY = y が与えられれたときのX の
条件付き期待値(conditional expectation of X given Y = y) という．
Proposition 1 
とすると， αは可測で
%5C%20%7B%5Crm%20a.s.%7D.png)
が成立する．
証明 任意の .png)
に対して，.png)
となるBが存在する．このとき変数変換と，定義より
)dP(%5Comega)%3D%5Cint_BE[X%7CY%3Dy]dP%5EY(y)%3D%5Cint_AE[X%7CY](%5Comega)dP(%5Comega).png)
<証明終>
Proposition 2
Proposition 1.2. 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の性質として以下が成立する．
(1) 
(2) 
を可積分な実確率変数，
に対して
(3) 
ならば 
(4) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の単調収束定理が成立する．
(5) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のFatouの補題が成立する．
(6) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のルベーグ収束定理が成立する．
(7) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のJensenの不等式が成立する．
(8) ,
は独立とする．このとき
(9) 
を有界な可測関数，
を実確率変数で可積分とする．このとき，Z%7CY%3Dy]%3Df(y)E[Z%7CY%3Dy]%5C%20P%5EY%7B%5Crm%20a.e.%7Dy.png)
証明 Proposition1 や普通の条件付き期待値の性質の証明と同様． <証明終>
