ベクトル束に同伴する主ファイバー束の位相
をn次元可微分多様体，
をr次元ベクトル束，
(
はファイバー)とし，
とする．また%5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin%20A%7D.png)
を局所座標近傍系，.png)
に対し
とする．
を局所的切断とする．つまり 
局所標構場とするとき，)(%5Cmathbf%7Be%7D_j)%3De_j(x).png)
(
は標準基底)とする．ここで
%5Cni%20%5Csigma_%7BU_%7B%5Calpha%7D%7D(x)%5Ccirc%20s%5Cmapsto%20(%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(x),s)%5Cin%20%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
とすると，全単射となる．
Proposition1
の部分集合 
が開集合であることを，
)%20%7B%5C%20%5Crm%20is%5C%20open%5C%20in%5C%20%7D%20%5Cmathbf%7BR%7D%5En%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%5C%20%5Cforall%7B%5Calpha%7D%20.png)
と定義する．開集合全体を 
とすると， は開集合系の公理を満たす．
証明
任意のαに対して
)%3D%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
より 
．
とすると，
)%3D%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_1%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D))%5Ccap%20%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_2%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D)).png)
より
．
とすると
%5Cbigg)%3D%5Cbigcup_%7B%5Clambda%5Cin%5CLambda%7D%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_%7B%5Clambda%7D%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D)).png)
よって 
．[証明終]
Propositon2
この位相で 
は連続である．
証明
Mの任意の開集合Vと任意のαに対して
%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D))%3D(V%5Ccap%20U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%20.png)
%5Cin%5Cmathcal%7BO%7D.png)
．したがって連続．[証明終]
Propositon3
この位相で 
は同相である．
証明
位相の定義より明らか．[証明終]
Propositon4
はハウスドルフ空間である．
証明
の相異なる二点 
をとる． %5Cneq%20%5Cpi(u_2).png)
のときは多様体がハウスドルフ空間であることから，開集合で分離される．%3D%20%5Cpi(u_2).png)
のときは が同相で，%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
がハウスドルフ空間であるから開集合で分離される．[証明終]
Propositon5
のとき，
%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%5Crightarrow%20%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D%5Ccap%20U_%7B%5Cbeta%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
は微分可能である．
証明
とベクトル束の変換関数が微分可能であることから従う．[証明終]
