確率積分における部分積分の公式
Problem3.3.12
, 
を連続セミマルチンゲールとし，
とする．ただし，M,Nは連続局所マルチンゲール，B,Cは適合した連続で有界変動な過程とする．また 
とする．このとき以下のような部分積分の公式が成立する．
[証明]
%7D_t%3DX_t+Y_t.png)
, とし，%3Dx%5E2/2.png)
とする．このとき伊藤の公式より
%7D)%3Df(Z%5E%7B(1)%7D_0)+%5Cint_0%5Et(X_s+Y_s)dX_s+%5Cint_0%5Et(X_s+Y_s)dY_s+%5Cfrac%7B%5Clangle%20M+N%5Crangle_t%7D%7B2%7D.png)
同様に%7D%3DX_t-Y_t.png)
として伊藤の公式より
%7D)%3Df(Z%5E%7B(2)%7D_0)+%5Cint_0%5Et(X_s-Y_s)dX_s-%5Cint_0%5Et(X_s-Y_s)dY_s+%5Cfrac%7B%5Clangle%20M-N%5Crangle_t%7D%7B2%7D.png)
2つの式の片々引いて整理すると
を得る．[証明終]
Problem3.3.12
, を連続セミマルチンゲールとし，
とする．ただし，M,Nは連続局所マルチンゲール，B,Cは適合した連続で有界変動な過程とする．また とする．このとき以下のような部分積分の公式が成立する．
[証明]
, とし， とする．このとき伊藤の公式より
同様に として伊藤の公式より
2つの式の片々引いて整理すると
を得る．[証明終]