からしゅれProblem4.2
からしゅれのProblem4.2で
%3D%5Cbigg%5C%7B%20%5Comega:%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%5Csup_%7B0%5Cleq%20t%5Cleq%20n%20,%20t%5Cin%20%5Cmathbf%7BQ%7D%7D(%7C%5Comega(t)-%5Comega_0(t)%7C%5Cwedge%201)%3C%5Cvarepsilon%5Cbigg%5C%7D.png)
が本当に
-可測なのか？というのが今日のゼミで話合いになった．ゼミで解決した方法よりも簡単な方法を発見したっぽいので書いておきます．
%5Cni%20%5Comega%20%5Cmapsto%20%5Comega(t)%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%20.png)
を時刻tでの射影とする． の定義より 
は 可測関数．よって極限関数である
%5Cni%20%5Comega%20%5Cmapsto%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%5Csup_%7B0%5Cleq%20t%5Cleq%20n,%20t%5Cin%5Cmathbf%7BQ%7D%7D(%7C%5Comega(t)-%5Comega_0(t)%7C%5Cwedge%201)%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
も -可測関数である．よって %3D%5C%7B%5Cvarphi(%5Comega)%3C%5Cvarepsilon%5C%7D.png)
より .png)
は -可測集合である．
Scheffe's Lemma
David Williamsの『Probability with martingales』という本(下のやつ)のChapter5にあるScheffeの補題(5.10)のところにあるExerciseの証明のメモです．
 | Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks) (1991/02/14) David Williams 商品詳細を見る |
ヒントにもあるとおり%5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B%5Cpm%7D).png)
が言えればよい．
まずFatouの補題より
また
.png)
より
d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup_n%20%5Cint%20(f_n%5E+-f%5E+)d%5Cmu+%5Climinf%5Cint%20(f_n%5E-%20-f%5E-)d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%5C%7B(f_n%5E+-f%5E+)+(f_n%5E--f%5E-)%5C%7Dd%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%7Cf_n%7Cd%5Cmu%20-%5Cint%20%7Cf%7Cd%5Cmu%3D0.png)
よって %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B+%7D).png)
．同様に %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B-%7D).png)
．以上より主張が従う．
Skorokhod representation
Fは分布関数の条件を満たすとき，Fはある確率変数の分布関数になっているという定理の証明ででてくる
%3D%5Csup%5C%7By%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D:F(y)%5Cleq%5Comega%5C%7D.png)
という確率変数が左連続なのか？というのを友だちと一緒に考えた．
まず
%5Cleq%20a%5CLongleftrightarrow%20x%5Cleq%20Y(a).png)
は定義から明らか．これの対偶をとって
%3E%20a%5CLongleftrightarrow%20x%3E%20Y(a).png)
これより .png)
をとる． %3CY(%5Comega).png)
と仮定すると
)%5Cgeq%20F(Y(%5Comega_n))%5Cgeq%20%5Comega_n%20.png)
が任意のnについて成り立つ．よって )%3C%20%5Comega.png)
となり矛盾．
実射影多様体のドラーム・コホモロジー
%5Ccong%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
%3D%5C%7B%5Comega%20%5Cin%5COmega%5Ep(S%5En):A%5E*%5Comega%3D%5Comega%5C%7D.png)
%3D%5C%7B%5Cpi%5E*%5Calpha:%5Calpha%5Cin%5COmega%5Ep(%5Cmathbf%7BR%7DP%5En)%5C%7D.png)
%3D%5COmega_%7Bsym%7D%5Ep(S%5En).png)
.png)
%5C%20s.t.%5C%20%5Cpi%5E*%5Comega%20%3D%5Ceta.png)
%5Ccong%200.png)
%5C%20s.t.%5C%20d%5Cgamma%20%3D%5Ceta.png)
%5C%20s.t.%5C%20%5Cpi%5E*%5Cbeta%3D%5Cgamma.png)
%3Dd%5Cgamma%3D%5Ceta%3D%5Cpi%5E*%5Comega.png)
%3D%5Cpi%5E*%5Comega.png)
%5Clongrightarrow%20%5COmega_%7Bsym%7D%5Ep(S%5En).png)
%5Ccong%200.png)
%5Ccong%20%5Cmathbf%7BR%7D%20%5CLongleftrightarrow%20M%20%7B%5Crm%5C%20is%5C%20orientable.%7D.png)
%5Ccong%20%5Cleft%0A%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0A%5Cmathbf%7BR%7D%20%26%20(n%5C%20%7B%5Crm%20:odd%7D)%5C%5C%20%0A0%20%26%20(n%5C%20%7B%5Crm%20:even%7D)%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright..png)
a.s.収束と位相
Durrettの本に
Since there is a sequence of random variables that converges in probability but not a.s. , it follows that a.s. convergence does not come from a metric, or even from a topology.
とあった．
確率論の授業でも紹介されてた主張で，どう示すのかなと思っていたのだけれど，Durrettでは
Let 
be a sequence of elements of a topological space. If every subsequence %7D%0A.png)
has a further subsequence %7D%0A.png)
that converges to y then 
.
という主張から導けると書いてあった．
これからもしa.s.収束がある位相で定まると仮定して矛盾が導ける．確率収束する列から任意に部分列(確率収束する)をとって，Borel-Cantelliの補題からその確率収束先に概収束する部分列を取れる．概収束が位相から定まるという仮定と上の主張から，もとの確率収束する列は概収束する．これは矛盾．
という感じになる．
local flow
リー群M上の左不変
ベクトル場をXとする．
，Xの生成するlocal flowを 
とする．このときL_gとlocal flow は可換，つまり
が成立する．
感覚的には明らかな気がするんだけどわからなかったので調べた． 
(単位元の近傍のlocal flowに対応させる)がgの近傍のlocal flowになってることを示す．
%5Ccirc%20(L_g%5Ccirc%20%5Cvarphi_%7Bs%7D%5Ccirc%20L_%7Bg%5E%7B-1%7D%7D).png)
で
)-f(g%5Ccdot%20g%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20x)%7D%7Bt%7D.png)
(g%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20x)%3D(L_g)_*X(f).png)
となるから，結局gの近傍のlocal flow は となる．これより
となり を得る．
反例？
松島多様体で自明とあった補題．(前の記事参照→ Sardの定理 (続き) )
反例らしきものが出来たので．
まず多様体として 
というものを考える．ただし 
には通常の位相をいれ， 
は に離散位相を入れたものとし，多様体は直積位相をいれたものとする．
座標近傍系 %5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin%20A%7D.png)
は以下のように取る．
%5Ctimes%5C%7Bt%5C%7D%20:%20(a,b)%5Csubset%20%5Cmathbf%7BR%7D%5C%20%7B%5Crm%20open%5C%20interval%7D,%5C%20t%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
%5Ctimes%20%5C%7Bt%5C%7D%5Cni%20(x,t)%5Cmapsto%20x%5Cin%20(a,b)%5Csubset%20%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5E3%5C%20%7C%5C%20a%3Cb,%5C%20t%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5C%7D.png)
このとき はHausdorff空間で(Hausdorff空間の直積はHausdorff空間になる)，座標変換はRからRへの恒等写像のある開集合への制限であるから，これは1次元 級多様体となる．
%3Dy.png)
とすると，Aは の測度0の集合であるが，%3D[0,1].png)
でこれは測度0でない．よってこれが反例である．
なんか穴があるかもしれないけど，第二可算公理がないとやはりなんかダメな気がする．
