Problem5.3.13
Problem5.3.13
はd×d行列で,任意の(t,x)に対して正則であるとする.また は一様に有界であり, の最小固有値は(t,x)によらずに下から正の値で抑えられているとする.さらに
は初期分布 の弱解を持つとする.このとき確率微分方程式
[証明]
まず が(t,x)によらずに一様に上から抑えられることを示す. の固有ベクトルを正規直交基底として選び とし ,対応する固有値を とする.ただしλは(t,x)によらない正の定数である.このとき,
となるから
これより
これよりNovikovの条件からGirsanovの定理を用いて
は の下でブラウン運動となる.よって
(※)の等号は -a.s.で成立します.考えている確率空間が違いますが成立します(Karatzas and Shreve Problem3.5.6)
Exercise3.5.11(Robins&Siegmund(1973))
Exercise3.5.11
ν>0, c>1 に対して次のような -stopping time を定義する.
このとき
[証明]
より
あとは であることを示せば十分である.なぜならばこれが成立すればWaldの恒等式から
となり,(1)の両辺の期待値をとって整理すれば
を得るからである.実際計算してみると
となり,証明が終わる.[証明終]
最後のR_cの可積分性を示すのに苦労しました.
Exercise3.5.10
Exercise3.5.10
Wをブラウン運動,, を前の記事と同じ確率測度とする. を での期待値とすれば
が成立する.
[証明]
あとは Exercise2.8.4 と同じように考えれば
λについての二次方程式 の解は であり, に注意してbの正負で場合分けしてλを選べば結論を得る.[証明終]
Problem3.5.7
Problem3.5.7
を一次元のブラウン運動とする.ただしフィルとレーションはWを可測にする最小のσ加法族とする.Tを -stopping time でかつ, を満たすものとする.このときWaldの恒等式
が成立することと,
として定義したものを に一意的に拡張した測度である(Karatzas and Shreve, Corollary 3.5.2参照).
は上の条件を満たす.(Novikov conditionの証明に用いられる(Proposition 3.5.12))
[証明]
Optional Sampling Theoremから
よって単調収束定理から
特に, なら なので で のもとで, はブラウン運動になる(Girsanovの定理)ので
[証明終]
Xを時間に関して一様でないマルコフ過程とするとき,(t,X_t)は時間に関して一様なマルコフ過程となる.
ChapterIII Exercise(1.11) (Revuz-Yor)
Xが時間に関して一様でないE値マルコフ過程とするとき,(t,X_t)は時間に関して一様なR_+×E値マルコフ過程となる(これを"time-space" processと呼ぶ)ことを示せ. またこのとき,推移関数(transition function)を書き下せ.
[証明]
Xは時間に関して一様でないマルコフ過程なので,あるフィルター付き確率空間 で Xは に適合し,任意の有界な非負値可測関数 f, , 推移関数 で
が成立している.初期測度を とする.Thorem(1,4)[Revuz-Yor, p81]より,任意の と非負値有界可測関数 f_i に対して
が成立している.ここで 上の確率測度を次のように定義する. に対して
つまり, とする.このとき,R_{t,s} は時間に関して一様である.つまり, が成立する. とすると,Fubiniの定理より は推移関数となる.また 任意の と非負値有界可測関数 f_i, g_i に対して
となることもFubiniの定理から分かる. 可測関数を単関数近似して,一般の有界非負値可測関数について上と同じ等式を得るので,再びThorem(1,4)[Revuz-Yor, p81]より(t,X_t)は時間に関して一様なマルコフ過程となる.[証明終]
少し混乱してR_{s,t}を定義するのに苦労しました.
LCH,second countableな空間の点を分離する非負値C_0関数列
主張
Eを局所コンパクトハウスドルフ(以下LCHと略す)かつ第2可算公理を満たす空間とし, をE上の非負値連続関数で無限遠点で消える関数全体とする.このとき関数列 で任意の相異なるEの2点x,yに対してあるf_nがあってf_n(x)≠f_n(y)となるものが存在する.
補題
Eが主張の条件を満たすとき,Eの任意の開集合Oはσコンパクトである.
[補題の証明]
次の事実を用いる.
事実
XがLCHであり,K⊂U⊂XでKはコンパクト,Uは開集合であるとき,相対コンパクトな開集合Vが存在して となる.(Folland, 猪狩参照)
これから任意のx∈Oに対してある開近傍V_xが存在して となる. をEの可算開基とすると, で となるものが存在する.従って となる.以上より は可算であるから,Oはσコンパクトである.[補題証明終]
[主張の証明]
をEの可算開基とし, とする.各O_nは上の補題からσコンパクトであるから
となるものが存在する. が主張にある関数列の条件を満たすことはEがハウスドルフで,開基の元で2点を分離できることから明らか.[証明終]
Yorの本だと証明のなかでこれを使うのですが,主張だけ書いてあって証明はなかったので自分で付けてみました.少し回りくどい気もします.