可分距離空間上のtightでない確率測度の例 でルベーグ外測度1，ルベーグ内測度0の集合の存在を認めたのですが，[0,1]の部分集合A,Bでdisjointかつともにルベーグ外測度が1であるようなルベーグ非可測集合の存在を教えていただきました．詳しくはルベーグ非可…

を多様体Mの線形接続， (IはRの開区間)とする． を接空間 からへの写像で， は を に沿って平行移動したものとする．このとき に沿う共変微分はと表されることを示せ．という問題です．本によっては(野水，甘利など)平行移動から，上の式で曲線に沿う共変微…

完備可分距離空間上では確率測度の族 がtightであることと，相対コンパクトであることは同値．けれども可分距離空間上の確率測度でtightでないものが存在する(よって相対コンパクトであるがtightでない例になっている)．この例はBillingsleyの Convergence o…

Mをコンパクト，連結，向きづけられた境界付き可微分多様体とする． であるとする．M上の調和関数u,vが境界上で一致するときuとvはM上で一致する．という主張の証明のメモ．u-vを考えれば良いから，調和関数fで境界上で0となるものが，M上で恒等的に0になる…

タイトルの主張は確率論のテストで必要だった主張です．テストの時は分かりませんでした． ですが，零集合の非可算和は零集合とは限らないのでこれではうまくいかないです．そこでFubiniの定理を使います．P^Xを像測度とするとき，XとYは独立であるから， で…

fully T_4 ⇒ T_4 の証明を思いついたのでメモ． (fully T_4 の定義は任意の開被覆に対して open star refinementが存在する．)対遇をとって T_4 でない ⇒ fully T_4 でない ことを示す． T_4でないとするとある互いに素な閉集合F_1,F_2があって，F_1,F_2を含…

からしゅれのProblem4.2でが本当に-可測なのか？というのが今日のゼミで話合いになった．ゼミで解決した方法よりも簡単な方法を発見したっぽいので書いておきます． を時刻tでの射影とする． の定義より は 可測関数．よって極限関数であるも -可測関数であ…

David Williamsの『Probability with martingales』という本(下のやつ)のChapter5にあるScheffeの補題(5.10)のところにあるExerciseの証明のメモです． Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks)(1991/02/14)David Williams商品詳細…

Fは分布関数の条件を満たすとき，Fはある確率変数の分布関数になっているという定理の証明ででてくる という確率変数が左連続なのか？というのを友だちと一緒に考えた． まずは定義から明らか．これの対偶をとって これより をとる． と仮定するとが任意のn…

n次元実射影多様体 のドラーム・コホモロジーを求めてみた． まず を の対せき点を同一視したものとみなし， を商写像とする．商写像は連続であり， は連結コンパクトであるから は連結コンパクトである．これより0次元ドラーム・コホモロジー群は となる． …

Durrettの本にSince there is a sequence of random variables that converges in probability but not a.s. , it follows that a.s. convergence does not come from a metric, or even from a topology.とあった． 確率論の授業でも紹介されてた主張で，ど…

リー群M上の左不変ベクトル場をXとする．，Xの生成するlocal flowを とする．このときL_gとlocal flow は可換，つまりが成立する． 感覚的には明らかな気がするんだけどわからなかったので調べた． (単位元の近傍のlocal flowに対応させる)がgの近傍のlocal …

松島多様体で自明とあった補題．(前の記事参照→ Sardの定理 (続き) ) 反例らしきものが出来たので． まず多様体として というものを考える．ただし には通常の位相をいれ， は に離散位相を入れたものとし，多様体は直積位相をいれたものとする．座標近傍系 …

写像度の話を読んでいたら臨界点の集合が閉集合であることの証明を思いついたのでメモ． M,Nを可微分多様体としそれぞれ次元をm,nとする．可微分写像f:M→Nとする．Mの正則点全体の集合が開集合であることを示せばよい．m 空集合であるから開である．m >= nの…

今履修している幾何学の授業の演習問題で｢境界付き多様体の境界の定義が局所座標によらないことを示せ」というのがあって，位相幾何の本見たら何やら難しいことが書いてあって萎えてたんだけどもっと簡単に示せることが調べたら分かった．境界の定義は可微分…

というのがあるらしい．具体的にはRiemann多様体M上のコンパクトな台を持つ関数全体から，Rへの線形汎関数 を定義してRieszの表現定理から多様体上にRadon測度を構成できるらしい．この測度空間 に置いて をMの体積と呼ぶらしい．特にコンパクトで向き付可能…

複素解析の勉強をしてたらモレラの定理というのを学んだ． モレラの定理： 関数f(z)がｚ平面上の領域Ｓ内において連続であり，かつＳ内の任意の閉曲線Ｃに対して常にを満たすならばf(z)は領域Ｓの内部の至る所で正則である． 野口先生の複素解析の証明を読ん…

Twitterで流れてきたので 一次元(多分Rのこと)閉集合で内点をもたないルベーグ測度が正である集合は存在するか？ Baireのカテゴリー定理を使うんじゃないか？というつぶやきを見たけど一回生のレポート課題みたいだからもっと初等的に示せるのかも．内点を持…

昨日の記事で(ii)の主張の証明がわからなかったので休息がてら今日は一日中ダラダラ考えてた．(一応↓は昨日の記事)Sardの定理で取り敢えずそれなりの証明を考えてみた． をMの座標近傍系， をNの座標近傍系， を可微分写像，AをMの零集合とする．定義から が…

冬休みを使ってSardの定理の証明(松島｢多様体入門｣)をもう一度おってみた． Sardの定理： を可分な多様体の間のC^∞ 級写像とする．f の臨界値の集合は測度0である． まずn次元多様体Mの部分集合Aが測度零であるとは，Mの座標近傍系を として がルベーグ零集…

ブログで数式を打つのはどうするのかと思ってググったらformulaというのがあるらしい．ということで早速．ほんとはpdfとかもup出来ると楽な気が．

流れ(?)にのって復活させてみました．めんどくさがりなので突然やめるかもしれません．