fully T_4 ⇒ T_4
fully T_4 ⇒ T_4 の証明を思いついたのでメモ． (fully T_4 の定義は任意の開被覆に対して open star refinementが存在する．)
対遇をとって T_4 でない ⇒ fully T_4 でない ことを示す．
T_4でないとするとある互いに素な閉集合F_1,F_2があって，F_1,F_2を含む任意の開集合O_1⊃F_1, O_2⊃F_2に対して
となる．開被覆 
を考える．fully T_4であるとする．点xのopen star refinement を 
とする．このとき
であるから仮定よりあるF_1の点a_1とF_2の点a_2があって
の点aをとる．open star refinement の定義から
より 
，また
より 
となるから 
となる．ところが 
は 
のいずれにも含まれないから矛盾．よってfully T_4ではない．
からしゅれProblem4.2
からしゅれのProblem4.2で
%3D%5Cbigg%5C%7B%20%5Comega:%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%5Csup_%7B0%5Cleq%20t%5Cleq%20n%20,%20t%5Cin%20%5Cmathbf%7BQ%7D%7D(%7C%5Comega(t)-%5Comega_0(t)%7C%5Cwedge%201)%3C%5Cvarepsilon%5Cbigg%5C%7D.png)
が本当に
-可測なのか？というのが今日のゼミで話合いになった．ゼミで解決した方法よりも簡単な方法を発見したっぽいので書いておきます．
%5Cni%20%5Comega%20%5Cmapsto%20%5Comega(t)%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%20.png)
を時刻tでの射影とする． の定義より 
は 可測関数．よって極限関数である
%5Cni%20%5Comega%20%5Cmapsto%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%5Csup_%7B0%5Cleq%20t%5Cleq%20n,%20t%5Cin%5Cmathbf%7BQ%7D%7D(%7C%5Comega(t)-%5Comega_0(t)%7C%5Cwedge%201)%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
も -可測関数である．よって %3D%5C%7B%5Cvarphi(%5Comega)%3C%5Cvarepsilon%5C%7D.png)
より .png)
は -可測集合である．
Scheffe's Lemma
David Williamsの『Probability with martingales』という本(下のやつ)のChapter5にあるScheffeの補題(5.10)のところにあるExerciseの証明のメモです．
 | Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks) (1991/02/14) David Williams 商品詳細を見る |
ヒントにもあるとおり%5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B%5Cpm%7D).png)
が言えればよい．
まずFatouの補題より
また
.png)
より
d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup_n%20%5Cint%20(f_n%5E+-f%5E+)d%5Cmu+%5Climinf%5Cint%20(f_n%5E-%20-f%5E-)d%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%5C%7B(f_n%5E+-f%5E+)+(f_n%5E--f%5E-)%5C%7Dd%5Cmu%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%20%5Climsup%5Cint%20%7Cf_n%7Cd%5Cmu%20-%5Cint%20%7Cf%7Cd%5Cmu%3D0.png)
よって %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B+%7D).png)
．同様に %5Cto%20%5Cmu(f%5E%7B-%7D).png)
．以上より主張が従う．
Skorokhod representation
Fは分布関数の条件を満たすとき，Fはある確率変数の分布関数になっているという定理の証明ででてくる
%3D%5Csup%5C%7By%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D:F(y)%5Cleq%5Comega%5C%7D.png)
という確率変数が左連続なのか？というのを友だちと一緒に考えた．
まず
%5Cleq%20a%5CLongleftrightarrow%20x%5Cleq%20Y(a).png)
は定義から明らか．これの対偶をとって
%3E%20a%5CLongleftrightarrow%20x%3E%20Y(a).png)
これより .png)
をとる． %3CY(%5Comega).png)
と仮定すると
)%5Cgeq%20F(Y(%5Comega_n))%5Cgeq%20%5Comega_n%20.png)
が任意のnについて成り立つ．よって )%3C%20%5Comega.png)
となり矛盾．
実射影多様体のドラーム・コホモロジー
%5Ccong%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
%3D%5C%7B%5Comega%20%5Cin%5COmega%5Ep(S%5En):A%5E*%5Comega%3D%5Comega%5C%7D.png)
%3D%5C%7B%5Cpi%5E*%5Calpha:%5Calpha%5Cin%5COmega%5Ep(%5Cmathbf%7BR%7DP%5En)%5C%7D.png)
%3D%5COmega_%7Bsym%7D%5Ep(S%5En).png)
.png)
%5C%20s.t.%5C%20%5Cpi%5E*%5Comega%20%3D%5Ceta.png)
%5Ccong%200.png)
%5C%20s.t.%5C%20d%5Cgamma%20%3D%5Ceta.png)
%5C%20s.t.%5C%20%5Cpi%5E*%5Cbeta%3D%5Cgamma.png)
%3Dd%5Cgamma%3D%5Ceta%3D%5Cpi%5E*%5Comega.png)
%3D%5Cpi%5E*%5Comega.png)
%5Clongrightarrow%20%5COmega_%7Bsym%7D%5Ep(S%5En).png)
%5Ccong%200.png)
%5Ccong%20%5Cmathbf%7BR%7D%20%5CLongleftrightarrow%20M%20%7B%5Crm%5C%20is%5C%20orientable.%7D.png)
%5Ccong%20%5Cleft%0A%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0A%5Cmathbf%7BR%7D%20%26%20(n%5C%20%7B%5Crm%20:odd%7D)%5C%5C%20%0A0%20%26%20(n%5C%20%7B%5Crm%20:even%7D)%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright..png)
a.s.収束と位相
Durrettの本に
Since there is a sequence of random variables that converges in probability but not a.s. , it follows that a.s. convergence does not come from a metric, or even from a topology.
とあった．
確率論の授業でも紹介されてた主張で，どう示すのかなと思っていたのだけれど，Durrettでは
Let 
be a sequence of elements of a topological space. If every subsequence %7D%0A.png)
has a further subsequence %7D%0A.png)
that converges to y then 
.
という主張から導けると書いてあった．
これからもしa.s.収束がある位相で定まると仮定して矛盾が導ける．確率収束する列から任意に部分列(確率収束する)をとって，Borel-Cantelliの補題からその確率収束先に概収束する部分列を取れる．概収束が位相から定まるという仮定と上の主張から，もとの確率収束する列は概収束する．これは矛盾．
という感じになる．
local flow
リー群M上の左不変
ベクトル場をXとする．
，Xの生成するlocal flowを 
とする．このときL_gとlocal flow は可換，つまり
が成立する．
感覚的には明らかな気がするんだけどわからなかったので調べた． 
(単位元の近傍のlocal flowに対応させる)がgの近傍のlocal flowになってることを示す．
%5Ccirc%20(L_g%5Ccirc%20%5Cvarphi_%7Bs%7D%5Ccirc%20L_%7Bg%5E%7B-1%7D%7D).png)
で
)-f(g%5Ccdot%20g%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20x)%7D%7Bt%7D.png)
(g%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20x)%3D(L_g)_*X(f).png)
となるから，結局gの近傍のlocal flow は となる．これより
となり を得る．
