をn次元可微分多様体， をr次元ベクトル束， ( はファイバー)とし，とする．また を局所座標近傍系， に対し とする． を局所的切断とする．つまり 局所標構場とするとき， ( は標準基底)とする．ここでとすると，全単射となる．Proposition1 の部分集合 が…

を多様体Mの線形接続， (IはRの開区間)とする． を接空間 からへの写像で， は を に沿って平行移動したものとする．このとき に沿う共変微分はと表されることを示せ．という問題です．本によっては(野水，甘利など)平行移動から，上の式で曲線に沿う共変微…

Mをコンパクト，連結，向きづけられた境界付き可微分多様体とする． であるとする．M上の調和関数u,vが境界上で一致するときuとvはM上で一致する．という主張の証明のメモ．u-vを考えれば良いから，調和関数fで境界上で0となるものが，M上で恒等的に0になる…

n次元実射影多様体 のドラーム・コホモロジーを求めてみた． まず を の対せき点を同一視したものとみなし， を商写像とする．商写像は連続であり， は連結コンパクトであるから は連結コンパクトである．これより0次元ドラーム・コホモロジー群は となる． …

リー群M上の左不変ベクトル場をXとする．，Xの生成するlocal flowを とする．このときL_gとlocal flow は可換，つまりが成立する． 感覚的には明らかな気がするんだけどわからなかったので調べた． (単位元の近傍のlocal flowに対応させる)がgの近傍のlocal …

松島多様体で自明とあった補題．(前の記事参照→ Sardの定理 (続き) ) 反例らしきものが出来たので． まず多様体として というものを考える．ただし には通常の位相をいれ， は に離散位相を入れたものとし，多様体は直積位相をいれたものとする．座標近傍系 …

写像度の話を読んでいたら臨界点の集合が閉集合であることの証明を思いついたのでメモ． M,Nを可微分多様体としそれぞれ次元をm,nとする．可微分写像f:M→Nとする．Mの正則点全体の集合が開集合であることを示せばよい．m 空集合であるから開である．m >= nの…

今履修している幾何学の授業の演習問題で｢境界付き多様体の境界の定義が局所座標によらないことを示せ」というのがあって，位相幾何の本見たら何やら難しいことが書いてあって萎えてたんだけどもっと簡単に示せることが調べたら分かった．境界の定義は可微分…

というのがあるらしい．具体的にはRiemann多様体M上のコンパクトな台を持つ関数全体から，Rへの線形汎関数 を定義してRieszの表現定理から多様体上にRadon測度を構成できるらしい．この測度空間 に置いて をMの体積と呼ぶらしい．特にコンパクトで向き付可能…

昨日の記事で(ii)の主張の証明がわからなかったので休息がてら今日は一日中ダラダラ考えてた．(一応↓は昨日の記事)Sardの定理で取り敢えずそれなりの証明を考えてみた． をMの座標近傍系， をNの座標近傍系， を可微分写像，AをMの零集合とする．定義から が…

冬休みを使ってSardの定理の証明(松島｢多様体入門｣)をもう一度おってみた． Sardの定理： を可分な多様体の間のC^∞ 級写像とする．f の臨界値の集合は測度0である． まずn次元多様体Mの部分集合Aが測度零であるとは，Mの座標近傍系を として がルベーグ零集…