pathが右(左)連続でadaptedならprogressively measurable
一度証明を書いておこうかと思います．
主張
を実数に値を取る，右(左)連続で .png)
-adapted な過程とする．このとき過程Xは発展的可測である．
[証明]
右連続の場合のみ示す．左連続の場合も同様．%7D:%5COmega%5Ctimes%20[0,%5Cinfty)%5Crightarrow%20%5Cmathbf%7BR%7D.png)
を以下のように定義する．
%7D(%5Comega,t)%3DX(%5Comega,k/2%5En)%5C%20%7B%5Crm%20if%7D%5C%20t%5Cin%20[(k-1)/2%5En,k/2%5En)%5C%20%5C%20(k%3D1,2,%5Cdots).png)
%7D.png)
は 
に各点収束する．実際 は右連続であるから任意の 
と任意の .png)
に対して，ある 
があって
,%5C%200%3Cu-t%3C%5Cdelta%20%5CRightarrow%20%7CX_u(%5Comega)-X_t(%5Comega)%7C%3C%5Cvarepsilon.png)
nを十分大にとれば，
となるので，各点収束する． は発展的可測であるから，各点収束先である も発展的可測である．
伊藤の公式は連続セミマルチンゲールの確率積分に対しての主張なので，発展的可測かどうか確かめる必要があるのですが，上の主張から問題ありませんでした．class DLの記事のときにもこの主張を確認したのですが，まだ馴染んでない気がしています．pathの片側連続性があれば，可測性には弱い仮定(adaptedだけ)仮定するだけで，発展的可測がでてくるのがしっくりきていない気がしています．
マルコフ過程で発展的可測であるが，強マルコフ過程でない例
からしゅれにも参照の本が挙げられていたけれど，ぐぐったら出てきたので紹介を．
The Strong Markov Property and Martingale Problems
この関数fを見つけてきたのはすごいと思いました．
ベクトル束に同伴する主ファイバー束の位相
をn次元可微分多様体，
をr次元ベクトル束，
(
はファイバー)とし，
とする．また%5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin%20A%7D.png)
を局所座標近傍系，.png)
に対し
とする．
を局所的切断とする．つまり 
局所標構場とするとき，)(%5Cmathbf%7Be%7D_j)%3De_j(x).png)
(
は標準基底)とする．ここで
%5Cni%20%5Csigma_%7BU_%7B%5Calpha%7D%7D(x)%5Ccirc%20s%5Cmapsto%20(%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(x),s)%5Cin%20%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
とすると，全単射となる．
Proposition1
の部分集合 
が開集合であることを，
)%20%7B%5C%20%5Crm%20is%5C%20open%5C%20in%5C%20%7D%20%5Cmathbf%7BR%7D%5En%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%5C%20%5Cforall%7B%5Calpha%7D%20.png)
と定義する．開集合全体を 
とすると， は開集合系の公理を満たす．
証明
任意のαに対して
)%3D%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
より 
．
とすると，
)%3D%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_1%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D))%5Ccap%20%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_2%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D)).png)
より
．
とすると
%5Cbigg)%3D%5Cbigcup_%7B%5Clambda%5Cin%5CLambda%7D%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_%7B%5Clambda%7D%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D)).png)
よって 
．[証明終]
Propositon2
この位相で 
は連続である．
証明
Mの任意の開集合Vと任意のαに対して
%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D))%3D(V%5Ccap%20U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%20.png)
%5Cin%5Cmathcal%7BO%7D.png)
．したがって連続．[証明終]
Propositon3
この位相で 
は同相である．
証明
位相の定義より明らか．[証明終]
Propositon4
はハウスドルフ空間である．
証明
の相異なる二点 
をとる． %5Cneq%20%5Cpi(u_2).png)
のときは多様体がハウスドルフ空間であることから，開集合で分離される．%3D%20%5Cpi(u_2).png)
のときは が同相で，%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
がハウスドルフ空間であるから開集合で分離される．[証明終]
Propositon5
のとき，
%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%5Crightarrow%20%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D%5Ccap%20U_%7B%5Cbeta%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
は微分可能である．
証明
とベクトル束の変換関数が微分可能であることから従う．[証明終]
可測写像が与えられたもとでの条件付き期待値
Definition
.png)
を確率空間，.png)
を可測空間とする．
を可測写像， を実確率変数とし可積分とする．このとき
%3D%5Cint_%7BY%5E%7B-1%7D(A)%7DXdP.png)
とすると，
は上の符号付き測度となる．また .png)
(像測度) とすると， は
に関して絶対連続となる．
よってRadon-Nykodim 導関数が存在し，それを
と表す．これをY = y が与えられれたときのX の
条件付き期待値(conditional expectation of X given Y = y) という．
Proposition 1 
とすると， αは可測で
%5C%20%7B%5Crm%20a.s.%7D.png)
が成立する．
証明 任意の .png)
に対して，.png)
となるBが存在する．このとき変数変換と，定義より
)dP(%5Comega)%3D%5Cint_BE[X%7CY%3Dy]dP%5EY(y)%3D%5Cint_AE[X%7CY](%5Comega)dP(%5Comega).png)
<証明終>
Proposition 2
Proposition 1.2. 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の性質として以下が成立する．
(1) 
(2) 
を可積分な実確率変数，
に対して
(3) 
ならば 
(4) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の単調収束定理が成立する．
(5) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のFatouの補題が成立する．
(6) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のルベーグ収束定理が成立する．
(7) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のJensenの不等式が成立する．
(8) ,
は独立とする．このとき
(9) 
を有界な可測関数，
を実確率変数で可積分とする．このとき，Z%7CY%3Dy]%3Df(y)E[Z%7CY%3Dy]%5C%20P%5EY%7B%5Crm%20a.e.%7Dy.png)
証明 Proposition1 や普通の条件付き期待値の性質の証明と同様． <証明終>
class DL
からしゅれに右連続非負値submartingaleはclass DLであるという主張があって，同様に右連続martingaleもclass DLとなることが言える．
証明
a>0を固定し，%3D1.png)
となるstopping timeの族を
とする．定義より
が一様可積分であることを示せばよい．Jensenの不等式より
はsubmartingale. OSTより
は
可測なので，λ>0に対し
またチェビシェフの不等式より
%5Cleq%20%5Cfrac%7BE(%7CX_a%7C)%7D%7B%5Clambda%7D.png)
よって積分の絶対連続性より
これよりは一様可積分．（証明終）
Xが発展的可測のとき は可測だけど，からしゅれだとadaptedしか仮定していないのに大丈夫か？という疑問が起きた．けれど，右連続性からXはmeasurableで，さらにadaptedと右連続性から発展的可測がでるから，結局発展的可測を仮定しているのと同じことなので，問題なかった．というかもっと早くこの疑問を持つべきだった．あまり発展的可測は強い条件じゃないのかもしれない．
可分距離空間上のtightでない確率測度の例(つづき)
可分距離空間上のtightでない確率測度の例 でルベーグ外測度1，ルベーグ内測度0の集合の存在を認めたのですが，[0,1]の部分集合A,Bでdisjointかつともにルベーグ外測度が1であるようなルベーグ非可測集合の存在を教えていただきました．
詳しくは
を見ていただきたいと思います．
%5C%20(t_0,t%5Cin%20I).png)
%7DM.png)
%7DM.png)
.png)
%3D%5Clim_%7Bt%5Cto%20t_0%7D%5Cfrac%7BP_%7Bt_0t%7D%5E%7B-1%7DV(t)-V(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D.png)
%3DP_%7Bt_0t%7D(%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)))%5Cin%20T_%7B%5Cgamma(t)%7DM.png)
%7DM%5Clongrightarrow%20T_%7B%5Cgamma(t)%7DM.png)
.png)
%3D%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t)%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j(t).png)
%3D%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t_0)%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j(t_0)%3DV%5Ej(t_0)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)).png)
-V(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D%26%3D%26%5Cbigg(%5Clim_%7Bt%5Cto%20t_0%7D%5Cfrac%7B%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t)-%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D%5Cbigg)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0))%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cdot%7B%5Ctilde%7BV%7D%7D%5Ej(t_0)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)).png)
%3D%5Cdot%7B%5Ctilde%7BV%7D%7D(%5Cgamma(t_0))%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0))%5C%20(D_t%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j%3D0).png)
