ゼータ分布に従う独立な確率変数が互いに素になる確率[D.Williams]
主張
X,Yは独立にゼータ分布に従うものとする．つまり
%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%5Czeta(s)%7D%20%5Cquad%20(%5Czeta(s):%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D,s%3E1).png)
とする．このとき
.png)
(gcdは最大公約数)とすると，
%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B2s%7D%5Czeta(2s)%7D.png)
となる．[D.Williams: Probability with martingales, p226]
証明
.png)
とすると，
達は独立．何故ならば
%26%3D%26%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DP(X%3Dni_1%5Ccdots%20i_p)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B(ni_1%5Ccdots%20i_p)%5Es%5Czeta(s)%7D%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B(i_1%5Ccdots%20i_p)%5Es%7D.png)
%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(i_1%5Ccdots%20i_p)%5Es%7D.png)
であるため．これより
%26%3D%26P(X%3D1)%5C%5C%0A%26%3D%26P%5Cbigg(%5Cbigcap_%7Bp:%7B%5Crm%20prime%7D%7DE_p%5Ec%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cprod_%7Bp:%7B%5Crm%20prime%7D%7D(1-P(E_p))%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cprod_%7Bp:%7B%5Crm%20prime%7D%7D(1-1/p%5Es).png)
となる．
次に.png)
つまりX,Yが互いに疎になる確率を計算する．
，
とすれば
達は独立である．実際
%5C%5C%0A%26%3D%26P(E_%7Bi_1%7D%5Ccap%5Ccdots%20E_%7Bi_p%7D)P(F_%7Bi_1%7D%5Ccap%20%5Ccdots%20%5Ccap%20F_%7Bi_p%7D)%5Cquad%20(X,Y:%20%7B%5Crm%20independent%7D).png)
よりわかる．従って
\begin{eqnarray*}
P(H=1)
&=&P\bigg(\bigcap_{p:{\rm prime}}(E_p\cap F_p)^c\bigg)\\
&=&\prod_{p:{\rm prime}} P((E_p\cap F_p)^c)\\
&=&\prod_{p:{\rm prime}} (1-1/p^{2s})\\
&=&\frac{1}{\zeta(2s)}
\end{eqnarray*}
Xがpの倍数であるときのXの分布は，またゼータ分布になる:
%3DP(X%3Dkp)/P(E_p)%3DP(X%3Dk).png)
nが素数でないときも
と定義すれば，条件付き期待値の性質から
%26%3D%26P%5Cbigg(E_n%5Ccap%20F_n%5Ccap%20%5Cbigcap_%7Bp:%7B%5Crm%20prime%7D%7D(E_%7Bnp%7D%5Ccap%20F_%7Bnp%7D)%5Ec%20%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%26E%5Cbigg[1_%7BE_n%5Ccap%20F_n%7DP%5Cbigg(%5Cbigcap_%7Bp:%7B%5Crm%20prime%7D%7D(E_%7Bnp%7D%5Ccap%20F_%7Bnp%7D)%5Ec%7CE_n,F_n%5Cbigg)%5Cbigg]%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7BE_n%7D1_%7BF_n%7DP(H%3D1)]%5C%5C%0A%26%3D%26n%5E%7B-2s%7D/%5Czeta(2s).png)
となって示された．（包除原理を使って計算する方が正確だと思われます）[証明終]
ちなみにgcd(X,Y)の可測性は
%3D%5Cprod_%7Bp:%7B%5Crm%20prime%7D%7D(p1_%7BE_p%7D1_%7BF_p%7D+%5Cmax%20%5C%7B1_%7BE_p%5Ec%7D,1_%7BF_p%5Ec%7D%5C%7D).png)
から分かります．また結局互いに素な確率は
%3D1/%5Czeta(2s).png)
ということもわかり，面白いと思いました．
Hilbert--Schmidt作用素はコンパクト作用素
主張
を可分なヒルベルト空間とし，
を から へのHilbert-Schmidt作用素とする．このとき はコンパクト作用素である．
証明
事実1
をコンパクト作用素とし，
.png)
であるならば， 
はコンパクトである(コンパクト作用素の全体はバナッハ空間なので)．
事実2
有界線形作用素の値域が有限次元空間であればコンパクトである(有限次元と局所コンパクトは同値)．
この二つの事実を用います．
を の内積とし，
を完全正規直交系とする．有界線形作用素 
を
と定義する．事実2より はコンパクト． が に強収束することを示せば，事実1より はコンパクトとなり，主張が示されたことになる．
は完全正規直交系であるから，
.
したがって任意の 
に対して
x%7C%5E2%26%3D%26%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3Dk+1%7D%5E%7BN%7D%7C%5Clangle%20Ax,e_n%5Crangle%7C%5E2%5C%5C%0A%26%3D%26%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3Dk+1%7D%5E%7BN%7D%7C%5Clangle%20x,A%5E*e_n%5Crangle%7C%5E2%5Cquad%20(A%5E*:%20%7B%5Crm%20adjoint~operator%7D)%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D%7Cx%7C%5E2%5Csum_%7Bn%3Dk+1%7D%5E%7BN%7D%7CA%5E*e_n%7C%5E2%5C%5C%0A%26%3D%26%7Cx%7C%5E2%5Csum_%7Bn%3Dk+1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7CA%5E*e_n%7C%5E2.png)
となる． はHilbert-Schmidt作用素であるから，
以上より は に強収束する．[証明終]
Hui-Hsiung Kuoの Gaussian Measures in Banach Spacesという本を読み始めました．上の主張はこの本のExerciseになっています．抽象ウィナー空間が分かるようになりたいです．
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Problem5.4.4
Problem5.4.4
連続で適合している確率過程 
がd次元のブラウン運動であることの必要十分条件は
-f(W_0)-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_0%5Et%5Cbigtriangleup%20f(W_s)ds,%5Cmathcal%7BF%7D_t;%5Cquad%200%5Cleq%20t%3C%5Cinfty.png)
が任意の .png)
に対して連続な局所マルチンゲールになることである．ただし
とする．
証明
%7D,%5Cldots,%20W_t%5E%7B(d)%7D),%5Cmathcal%7BF%7D_t;0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty%5C%7D.png)
がd次元のブラウン運動であれば，
が連続な局所マルチンゲールであることは伊藤の公式から明らか(cf. Karatzas and Shreve, Proposition5.4.2, p312)．逆に任意の に対して が連続な局所マルチンゲールになるとする．とくに %5Cmapsto%20x_i%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D.png)
について考えれば，%7D-W_0%5E%7B(i)%7D.png)
は連続な適合した局所マルチンゲールとなる．さらに 
であることが，Karatzas and Shreve, Proposition5.4.2から分かる．よってLevy's characterization of Brownian motion よりこれらがd次元のブラウン運動であることがわかる．[証明終]
Problem5.3.13
Problem5.3.13
%5Cquad%20((t,x)%5Cin[0,%5Cinfty)%5Ctimes%20%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed).png)
はd×d行列で，任意の(t,x)に対して正則であるとする．また %5Cquad%20((t,x)%5Cin%20[0,%5Cinfty)%5Ctimes%20%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed).png)
は一様に有界であり，%5Csigma(t,x)%5E%7B%5Ctop%7D.png)
の最小固有値は(t,x)によらずに下から正の値で抑えられているとする．さらに
dW_t;%5Cquad%200%5Cleq%20t%5Cleq%20T%5Cquad%20(W:%7B%5Crm%20Brownian%5C%20motion%7D).png)
は初期分布 
の弱解を持つとする．このとき確率微分方程式
dt+%5Csigma(t,X_t)dW_t.png)
は初期分布 の弱解を持つことを示せ．
[証明]
まず %5E%7B-1%7Db(t,x)%5Cparallel%5E2%5Cquad%20(%5Cparallel%5Ccdot%5Cparallel:%7B%5Crm%20Euclidean%5C%20norm%7D).png)
が(t,x)によらずに一様に上から抑えられることを示す． の固有ベクトルを正規直交基底として選び ,a_2(t,x),%5Cldots,a_d(t,x).png)
とし ，対応する固有値を %5Cleq%5Cldots%5Cleq%20%5Clambda_d(t,x).png)
とする．ただしλは(t,x)によらない正の定数である．このとき，
%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Enc_j(t,x)a_j(t,x),%5Cquad%20%5Cparallel%20b(t,x)%5Cparallel%5E2%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%7Cc_j(t,x)%7C%5E2.png)
となるから
%5E%7B-1%7Db(t,x)%5Cparallel%5E2%5C%5C%0A%26%3D%26b(t,x)%5E%7B%5Ctop%7D(%5Csigma(t,x)%5Csigma(t,x)%5E%7B%5Ctop%7D)%5E%7B-1%7Db(t,x)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Enc_i(t,x)c_j(t,x)a_i(t,x)(%5Csigma(t,x)%5Csigma(t,x)%5E%7B%5Ctop%7D)%5E%7B-1%7Da_j(t,x)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%5Cfrac%7Bc_i(t,x)c_j(t,x)%7D%7B%5Clambda_j(t,x)%7Da_i(t,x)a_j(t,x)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7Bc_i(t,x)%5E2%7D%7B%5Clambda_i(t,x)%7D%5Cquad%20(%5C%7Ba_i(t,x)%5C%7D:%7B%5Crm%20orthonormal%5C%20basis%7D)%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cparallel%20b(t,x)%5Cparallel%5E2%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26M%5Cquad%20(M:%7B%5Crm%20const%7D,%5Cquad%20b(t,x):%7B%5Crm%20uniformly%5C%20bounded%7D).png)
.
これより
の初期分布 の弱解を ,(%5COmega,%5Cmathcal%7BF%7D,P),%5C%7B%5Cmathcal%7BF%7D_t%5C%7D.png)
とすれば
%5E%7B-1%7Db(s,X_s)%5Cparallel%5E2ds%5Cbigg)%5Cbigg]%26%5Cleq%26%5Cexp(Mt/2)%5C%5C%0A%26%3C%26%5Cinfty%20%5Cquad%20(0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty).png)
これよりNovikovの条件からGirsanovの定理を用いて
%5E%7B-1%7Db(s,X_s)ds%5Cquad%20(0%5Cleq%20t%5Cleq%20T).png)
は .png)
の下でブラウン運動となる．よって
dW_s%3D%5Cint_0%5Etb(s,X_s)ds+%5Cint_0%5Et%5Csigma(s,X_s)d%5Ctilde%7BW%7D_s.png)
・・・(※)
となり，,(%5COmega,%5Cmathcal%7BF%7D_T,%5Ctilde%7BP%7D_T),%5C%7B%5Cmathcal%7BF%7D_t%5C%7D.png)
は
は初期分布 の弱解となる．[証明終]
(※)の等号は
-a.s.で成立します．考えている確率空間が違いますが成立します(Karatzas and Shreve Problem3.5.6)
Exercise3.5.11(Robins&Siegmund(1973))
Exercise3.5.11
ν>0, c>1 に対して次のような 
-stopping time を定義する．
%3Dc%5C%7D.png)
このとき
%7DR_c%3D%5Cfrac%7B2%5Clog%20c%7D%7B%5Cnu%5E2%7D..png)
[証明]
)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Clim_%7Bt%5Cto%5Cinfty%7DE[1_%7B%5C%7BR_c%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_%7BR_c%7D]%5Cquad%20(%7B%5Crm%20by%5C%20the%5C%20monotone%5C%20convergence%5C%20thoerem%7D)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Clim_%7Bt%5Cto%5Cinfty%7DE[1_%7B%5C%7BR_c%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_%7BR_c%5Cwedge%20t%7D]%5C%5C%0A%26%3D%26%5Clim_%7Bt%5Cto%5Cinfty%7DE[1_%7B%5C%7BR_c%5Cleq%20t%5C%7D%7DE[Z_t%7C%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bt%5Cwedge%20R_c%7D]]%5Cquad%20(%7B%5Crm%20by%5C%20the%5C%20optional%5C%20sampling%5C%20theorem%7D)%5C%5C%0A%26%3D%26%5Clim_%7Bt%5Cto%5Cinfty%7DE[E[1_%7B%5C%7BR_c%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_t%7C%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bt%5Cwedge%20R_c%7D]]%5C%5C%0A%26%3D%26%5Clim_%7Bt%5Cto%5Cinfty%7DE[1_%7B%5C%7BR_c%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_t]%5C%5C%0A%26%3D%26%5Clim_%7Bt%5Cto%5Cinfty%7D(EZ_t-E[1_%7B%5C%7BR_c%3E%20t%5C%7D%7DZ_t])%5C%5C%0A%26%3D%261%5Cquad%20(%7B%5Crm%20by%5C%20the%5C%20Lebesgue%5C%20convergence%5C%20theorem%7D).png)
よって 
. また
より
.png)
・・・(1)
あとは %7DR_c%3C%5Cinfty.png)
であることを示せば十分である．なぜならばこれが成立すればWaldの恒等式から
%7DW_%7BR_c%7D%3DE%5E%7B(%5Cnu)%7D%5Ctilde%7BW%7D_%7BR_c%7D+%5Cnu%20E%5E%7B(%5Cnu)%7DR_c%3D%5Cnu%20E%5E%7B(%5Cnu)%7DR_c.png)
となり，(1)の両辺の期待値をとって整理すれば
%7DR_c%3D%5Cfrac%7B2%5Clog%20c%7D%7B%5Cnu%5E2%7D.png)
を得るからである．実際計算してみると
%7DR_c%26%3D%26%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7DP%5E%7B(%5Cnu)%7D[R_c%5Cgeq%20t]dt%5C%5C%0A%26%5Cleq%26%5Cint_0%5E%7B(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2%7DP%5E%7B(%5Cnu)%7D[R_c%5Cgeq%20t]dt+%5Cint_%7B(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2%7D%5E%7B%5Cinfty%7DP%5E%7B(%5Cnu)%7D[R_c%5Cgeq%20t]dt%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2+%5Cint_%7B(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2%7D%5E%7B%5Cinfty%7DP%5E%7B(%5Cnu)%7D[%5Ctilde%7BW%7D_t%5Cleq%20-%5Cnu%20t/4]dt%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2%20+%20%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbigg(%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B-%5Cnu%20t/4%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%20t%7D%7D%5Cexp(-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2t%7D)%5Cbigg)dt%5C%5C%0A%26%3D%26(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2%20+%20%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbigg(%5Cint_%7B%5Cnu%20%5Csqrt%7Bt%7D/4%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cexp(-%5Cfrac%7Bu%5E2%7D%7B2%7D)%5Cbigg)dt%5C%5C%0A%26%5Cleq%20%26(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2%20+%20%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cnu%5Csqrt%7Bt%7D%7D%5Cexp(-%5Cnu%5E2t/32)dt%5C%5C%0A%26%3D%26(4%5Clog%20c)/%5Cnu%5E2%20+%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cnu%7D%5CGamma(3/2)(%5Cnu%5E2/32)%5E%7B-3/2%7D%3C%5Cinfty.png)
となり，証明が終わる．[証明終]
最後のR_cの可積分性を示すのに苦労しました．
Exercise3.5.10
Exercise3.5.10
Wをブラウン運動，
, %7D.png)
を前の記事と同じ確率測度とする．%7D.png)
を での期待値とすれば
%7De%5E%7B-%5Calpha%20T_b%7D%3D%5Cexp%20(%5Cmu%20b-%7Cb%7C%5Csqrt%7B%5Cmu%5E2%20+2%5Calpha%7D).png)
が成立する．
[証明]
%7D[%5Ctilde%7BX%7D_t]%5Cquad%20(0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty)%5C%5C%0A%26%3D%26E%5E%7B(%5Cmu)%7D[E%5E%7B(%5Cmu)%7D[%5Ctilde%7BX%7D_t%7C%5Cmathcal%7BF%7D%5EW_%7Bt%5Cwedge%20T_b%7D]]%5C%5C%0A%26%3D%26E%5E%7B(%5Cmu)%7D[1_%7B%5C%7BT_b%3Et%5C%7D%7D%5Ctilde%7BX%7D_t]+E%5E%7B(%5Cmu)%7D[1_%7B%5C%7BT_b%5Cleq%20t%5C%7D%7D%5Ctilde%7BX%7D_%7BT_b%7D].png)
あとは Exercise2.8.4 と同じように考えれば
1_%7B%5C%7BT_b%3C%5Cinfty%5C%7D%7D]%3D1.png)
λについての二次方程式 
の解は 
であり，
に注意してbの正負で場合分けしてλを選べば結論を得る．[証明終]
Problem3.5.7
Problem3.5.7
を一次元のブラウン運動とする．ただしフィルとレーションはWを可測にする最小のσ加法族とする．Tを.png)
-stopping time でかつ，%3D1.png)
を満たすものとする．このときWaldの恒等式
]%3D1.png)
が成立することと，
%7D(T%3C%5Cinfty)%3D1.png)
が成立することは同地である．ここで確率測度 は %5Cquad%20(%5Cmu%5Cneq%200).png)
として
%7D(A)%3DE[1_AZ_t];%5Cquad%20A%5Cin%20%5Cmathcal%7BF%7D_t%5EW.png)
として定義したものを 
に一意的に拡張した測度である(Karatzas and Shreve, Corollary 3.5.2参照)．
このことから特に 
なるものに対して
は上の条件を満たす．(Novikov conditionの証明に用いられる(Proposition 3.5.12))
[証明]
Optional Sampling Theoremから
%7D[T%5Cleq%20t]%5Cquad%20(0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty)%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_t]%20%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DE[Z_t%7C%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bt%5Cwedge%20T%7D]]%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_%7Bt%5Cwedge%20T%7D]%5C%5C%0A%26%3D%26E[1_%7B%5C%7BT%5Cleq%20t%5C%7D%7DZ_T].png)
よって単調収束定理から
%7D(T%3C%5Cinfty)%3DE[Z_T]%3DE[%5Cexp%20(%5Cmu%20W_T-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmu%20%5E2%20T)].png)
特に， なら 
なので %5Cleq%20P(S_b%3C%5Cinfty)%3D1.png)
で のもとで，
はブラウン運動になる(Girsanovの定理)ので
%7D(S_b%3C%5Cinfty)%3DP%5E%7B(%5Cmu)%7D(%5Cinf%5C%7Bt%5Cgeq%200:%5Ctilde%7BW%7D_t%3Db%5C%7D)%3D1.png)
[証明終]
