Problem5.4.4
Problem5.4.4
連続で適合している確率過程 
がd次元のブラウン運動であることの必要十分条件は
-f(W_0)-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_0%5Et%5Cbigtriangleup%20f(W_s)ds,%5Cmathcal%7BF%7D_t;%5Cquad%200%5Cleq%20t%3C%5Cinfty.png)
が任意の .png)
に対して連続な局所マルチンゲールになることである．ただし
とする．
証明
%7D,%5Cldots,%20W_t%5E%7B(d)%7D),%5Cmathcal%7BF%7D_t;0%5Cleq%20t%3C%5Cinfty%5C%7D.png)
がd次元のブラウン運動であれば，
が連続な局所マルチンゲールであることは伊藤の公式から明らか(cf. Karatzas and Shreve, Proposition5.4.2, p312)．逆に任意の に対して が連続な局所マルチンゲールになるとする．とくに %5Cmapsto%20x_i%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D.png)
について考えれば，%7D-W_0%5E%7B(i)%7D.png)
は連続な適合した局所マルチンゲールとなる．さらに 
であることが，Karatzas and Shreve, Proposition5.4.2から分かる．よってLevy's characterization of Brownian motion よりこれらがd次元のブラウン運動であることがわかる．[証明終]
